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相关试卷

1、设 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $2 a - c = 2 b cos C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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2、已知 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(3)、求向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(3)、求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标．

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4、若函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度后，其图象与函数 $g (x) = cos 2 x$ 的图象重合，则 $m$ 的最小正数值为．

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5、已知点 $A (2, 3), B (1, 4)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 的坐标为．

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6、设点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\overset{⇀}{A M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C}$ ，则点 $M$ 是边 $B C$ 的中点 B、若 $\overset{⇀}{A M} = 2 \overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C}$ ，则点 $M$ 在边 $B C$ 的延长线上 C、若 $\overset{⇀}{A M} = - \overset{⇀}{B M} - \overset{⇀}{C M}$ ，则点 $M$ 是 $△ A B C$ 的重心 D、若 $\overset{⇀}{A M} = x \overset{⇀}{A B} + y \overset{⇀}{A C}$ ，且 $x + y = \frac{1}{2}$ ，则 $△ M B C$ 的面积是的 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{2}$

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7、已知 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $D$ 是边 $B C$ 上的动点， $E$ 是边 $A C$ 的中点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{A D}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 \sqrt{3}, 0]$ B、 $[0, 2 \sqrt{3}]$ C、 $[- 3, 0]$ D、 $[0, 3]$

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = b \sin A$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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9、若 $a = 3^{0.5}, b = {0.8}^{2}, c = \log_{0.5} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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10、已知 $α$ 为第四象限角， $cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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11、函数 $y = \sqrt{x - 2}$ 的定义域是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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12、 $A = \{- 1, 1, 2, 4\}$ ， $B = \{2, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 4, 5\}$ B、 $\emptyset$ C、 $\{2, 4\}$ D、 $\{- 1, 1, 2, 4\}$

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13、已知实数 $a > b > 0$ ，当 $2 a + b + \frac{1}{a - b} + \frac{4}{a + 2 b}$ 取得最小值时，则 $\frac{a}{b}$ 的值为．

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14、如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水， $A B = 8, A_{1} B_{1} = 2$ ，图1中水面高度恰好为棱台高度的 $\frac{1}{2}$ ，图2中水面高度为棱台高度的 $\frac{2}{3}$ ，若图1和图2中纯净水的体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{287}{208}$ D、 $\frac{387}{208}$

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15、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，其右顶点为 $A_{1}$ ，上顶点为 $B_{1}, O$ 为坐标原点，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、设 $C_{1}$ 在点 $M$ 处的切线 $l$ ，其斜率为 $k_{1}, O M$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(2)、过 $C_{1}$ 在第一象限的点 $P_{1}$ 作椭圆 $C_{1}$ 的切线，分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A_{2}, B_{2}$ ，且 $P_{1}$ 为线段 $A_{2} B_{2}$ 的中点，记以点 $O$ 为中心， $x$ 轴， $y$ 轴为对称轴，且过点 $A_{2}, B_{2}$ 的椭圆为 $C_{2}$ ，依此类推， $\dots$ ，过椭圆 $C_{n}$ 在第一象限的点 $P_{n}$ 作椭圆 $C_{n}$ 的切线，分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A_{n + 1}, B_{n + 1}$ ，且 $P_{n}$ 为线段 $A_{n + 1} B_{n + 1}$ 的中点，记以点 $O$ 为中心， $x$ 轴， $y$ 轴为对称轴，且过点 $A_{n + 1}, B_{n + 1}$ 的椭圆为 $C_{n + 1}$ ，由此得到一系列椭圆 $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \dots, C_{n}, C_{n + 1}$ .
（i）求 $C_{n}$ 的方程；
（ii）过点 $(1, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C_{k}$ 分别交于 $Q_{k}, R_{k}$ ，求证： $\begin{array}{r} \frac{{|Q_{1} R_{1}|}^{2}}{{|Q_{2} R_{2}|}^{2}} + \frac{{|Q_{2} R_{2}|}^{2}}{{|Q_{3} R_{3}|}^{2}} + \dots + \frac{{|Q_{n} R_{n}|}^{2}}{{|Q_{n + 1} R_{n + 1}|}^{2}} > \frac{n - 1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}} \end{array}$ .
（附：若 $T (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上一点，则椭圆在点 $T$ 处的切线方程为： $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ）

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a}{x + 1}$ 和 $g (x) = \frac{x + b}{2 x}$ 的图象在 $x = 1$ 处有相同的切线.

(1)、求实数 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、求函数 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的极值；

(3)、当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) < \frac{m ln x}{x - 1} < g (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值集合.

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17、在某游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器.该游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：
①每次祈愿获取五星角色的概率 $p_{0} = 0.006$ ；
②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；
③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立.
设随机变量 $X$ 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数.

(1)、求 $P (X = k)$ 的解析式；

(2)、求 $X$ 的数学期望 $E X$ .
参考数据： ${0.994}^{90} \approx 0.592$

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18、如图四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, △ A C D$ 是边长为2的等边三角形，且 $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ，点 $M$ 在棱 $P C$ 上.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $\vec{C M} = \frac{1}{4} \vec{C P}$ ，求直线 $M B$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $- a cos A$ 是 $b cos C$ 与 $c cos B$ 的等差中项.

(1)、求 $A$ ；

(2)、如图所示， $D$ 为平面上一点，与 $△ A B C$ 构成一个四边形 $A B D C$ ，且 $∠ B D C = \frac{π}{3}$ ，若 $c = b = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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20、已知 $Ω$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ ，设 $Ω$ 的四个顶点到平面 $α$ 的距离所构成的集合为 $M$ ，若 $M$ 中元素的个数为 $k$ ，则称 $α$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距平面， $M$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距集.如果 $α$ 为 $Ω$ 的1阶等距平面且1阶等距集为 $\{m\}$ ，则符合条件的 $α$ 有个， $m$ 的所有可能取值构成的集合是.

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