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相关试卷

1、某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为 $θ$ （ $θ > 0$ ）（弧度）．

(1)、求 $θ$ 关于x的函数解析式，并求出 $θ$ 的取值范围；

(2)、已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y．
（ⅰ）求y关于x的函数解析式；
（ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值．

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2、已知函数 $f (x) = sin (\frac{π}{4} + x) cos (\frac{π}{4} + x) + \sqrt{3} sin x cos x$ ．

(1)、把 $f (x)$ 化成 $y = A sin (ω x + φ)$ 的形式；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且 $π < α < \frac{7 π}{6}$ ，求 $sin α$ 的值．

(3)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $sin B + sin C$ 的取值范围．

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3、若集合 $A = \{x ∣ - 3 \leq x \leq 3\}$ ，集合 $B = \{x ∣ m - 5 \leq x \leq 2 m + 1\}$ ．

(1)、若 $m = 0$ ，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、当 $A \cap B = A$ 时，求实数 $m$ 的取值范围．

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4、为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数 $y$ 与时间 $t$ 之间的关系近似满足如图所示的曲线．当 $t \in （ 0 ， 14]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分，当 $t \in [14 ， 40 ）$ 时，曲线是函数 $y = {log}_{a} (t - 5) + 83 (a > 0 且 a \neq 1)$ 图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有分钟．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414 ； \sqrt{3} \approx 1.732 ， lg 2 \approx 0.301 ， lg 3 \approx 0.477 ）$ （结果保留小数点后两位有效数字）

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5、若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则 $f (16) =$ ．

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6、定义 $f (α) = \frac{sin α}{|cos α| + |sin α|}$ ， $g (α) = \frac{cos α}{|cos α| + |sin α|}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists α \in R$ ，使得 ${[f (α)]}^{2} + {[g (α)]}^{2} > 1$ B、 $f (α + \frac{3 π}{2}) + g (α) = 0$ C、 $f (α) + g (α)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ D、当 $α \in [0,π]$ 时， $f (α) + 2 g (α)$ 的最大值为2

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7、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，对任意x，y满足 $f (x - y) = f (x) g (y) - g (x) f (y)$ ，且 $f (- 2) = f (1) \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、函数 $g (2 x + 1)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 C、 $g (1) + g (- 1) = 0$ D、若 $f (1) = 1$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2023} f (n) = 1$

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8、已知定义在 $[1 - 3 m, 4 m - 2]$ 上的偶函数 $f (x)$ ，且当 $x \in [0, 3 m - 1]$ 时， $f (x)$ 单调递增，则关于 $x$ 的不等式 $f (x - 1) > f (2 x - 3 m)$ 的解集是（　　）

A、 $(\frac{4}{3}, 2)$ B、 $(\frac{7}{8}, \frac{5}{4})$ C、 $(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}]$ D、 $(\frac{2}{3}, 2]$

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9、已知 $x > 0, y > - 1$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{x^{2} + 3}{x} + \frac{y^{2}}{y + 1}$ 最小值为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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10、函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{1 + 2^{x}}) sin x$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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11、下面四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一个函数的是（）．

A、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = 2 x$ ， $g (x) = \frac{2 x^{2}}{x}$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ D、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$

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12、不等式 $(x - 1) (x - 3) \leq 0$ 的解集是（）

A、 $\{x | x < 1$ 或 $x > 3\}$ B、 $\{x| x \leq 1$ 或 $x \geq 3\}$ C、 $\{x| 1 < x < 3\}$ D、 $\{x| 1 \leq x \leq 3\}$

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13、已知 $α \in (0, \frac{π}{4}) ， sin α cos α = \frac{12}{25}$ ，则（）

A、 $cos α + sin α = \frac{7}{5}$ B、 $sin α - cos α = \frac{1}{5}$ C、 $sin α = \frac{3}{5}$ D、 $tan α = \frac{3}{4}$

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14、函数 $f (x) = {log}_{0.5} (x^{2} - a x + 3)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[2, 4)$ D、 $[2, 4]$

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15、已知点 $P (1, 4)$ ，双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $A P$ 垂直.

(1)、求双曲线的离心率；

(2)、设点 $M$ 在双曲线上，且 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，求点 $M$ 到 $x$ 轴的距离；

(3)、过 $F_{2}$ 且斜率为 $1$ 的直线与双曲线交于 $D$ 、 $E$ 两点，求线段 $D E$ 的长度.

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16、（1）已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P (1, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 到其焦点的距离为5，求抛物线的方程；
（2）求与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 有公共渐近线，且经过点 $(- 3, 2 \sqrt{3})$ 的双曲线的标准方程.

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17、已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为 $x + y - 1 = 0$ ， $3 x - y + 4 = 0$ ，且它的对角线的交点为 $M (3, 3)$ ，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．

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18、已知椭圆和双曲线有共同的焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $M$ 是它们的一个交点，且 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{1}{4}$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1} e_{2}}$ 的最大值为．

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19、焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过 $P (3, - 2 \sqrt{6})$ 的椭圆的标准方程为．

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20、若直线 $2 x + a y = 2$ 与 $a x + 2 y = 1$ 垂直，则 $a =$ ．

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