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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 经过 $(4, 0)$ ， $(0, 3)$ ， $(4 \sqrt{2}, - 3)$ 三个点中的两个，若 $O$ 为原点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $x = - \frac{12}{5}$ 上，且 $O A ⊥ O B$ .

(1)、求 $C$ 的渐近线方程：

(2)、求 $△ A O B$ 面积S的最小值：

(3)、证明：直线 $A B$ 与定圆相切，并求出该定圆的方程.

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2、已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件.

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关；

(2)、用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $\frac{P (χ^{2} \geq k) |0.050| 0.010 ∣ 0.001}{k |3.841| 6.635 ∣ 10.828}$ .

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3、在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $A C = 3$ ， $C = \frac{π}{3}$ ， $D$ 在边 $B C$ 上， $△ A B D$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $B D$ ：

(2)、求 $△ A C D$ 的周长.

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4、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为6，侧棱长为3，点 $P$ 在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若 $P A ⊥ P B_{1}$ ，则 $P$ 的轨迹长度为.

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5、若一个 $n$ 位数，各位数从高到低分别为 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n} (n \geq 2)$ ，且满足 $a_{1} > a_{2} > \dots > a_{n}$ ，我们便将其称之为“递减数”.则正整数之中的“递减数”共有个.

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6、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为.

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7、已知函数 $f (x) = a x + ln (1 - \frac{2 b}{x})$ ，则（）

A、当 $a = 0$ ，且 $b \neq 0$ 时， $f (x)$ 没有零点 B、曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形 C、当 $a b > 0$ 时， $f (x)$ 在定义域内是单调函数 D、当 $a b < 0$ 时，函数 $f (x)$ 既有极大值，又有极小值

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8、已知事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$ B、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{4}$ C、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{3}{8}$ D、若 $P (B ∣ A) = \frac{1}{8}$ ，则 $P (B ∣ \bar{A}) = \frac{7}{8}$

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9、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则（）

A、 $C_{1}$ 的焦距小于 $C_{2}$ 的焦距 B、 $C_{2}$ 可能为等轴双曲线 C、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 2$ D、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 恰有四个公共点

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10、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ 为函数 $f (x) = sin (ω x + φ) - sin φ (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的3个相邻零点，若 $2 (x_{2} - x_{1}) = x_{3} - x_{2}$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，若 $\cos ∠ O F M = \frac{3}{5}$ ，则 $M$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{p}{4}$ B、 $\frac{p}{6}$ C、 $\frac{p}{8}$ D、 $\frac{p}{16}$

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12、若 $sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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13、记等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 1$ ，则 $S_{9}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、已知根据如下数据，可得到 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.25 x + 14.84$ ，则3号观测的残差（精确到0.1）为（）
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
$x$
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
$y$
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7

A、0.5 B、 $- 0.5$ C、0.6 D、 $- 0.6$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} f [f (x + 4)], x < 2, \\ 2 x - 5, x \geq 2, \end{array}$ 则 $f (0) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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16、若 $i \cdot z = 2 - i$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、4 D、 $- 4$

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17、已知集合 $A = \{x \in N ∣ - 1 < x < 4\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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18、“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法．它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1），点 $D$ 被称为“牟合方盖”的上顶点，点 $O$ 为“牟合方盖”的中心．过点 $O$ 作平面 $γ$ 使得 $O D ⊥ γ, | O D | = 2$ ．

(1)、求平面 $γ$ 截“牟合方盖”所得截面的面积；

(2)、B，E为平面 $γ$ 与两圆柱交线的交点， $A$ 为BE的中点，过OD作平面ODSC，S，C为“牟合方盖”表面上的点且位于平面AOD同一侧， $∠ D O C = \frac{π}{2}$ ，过S作 $S R / /$ 平面ABC，交边界BD于点 $R$ ，设 $∠ S O D = α (0 \leq α \leq \frac{π}{2}), ∠ A O C = β$ ．
（i）当 $β = \frac{π}{2}$ 时（如图2），是否存在 $α$ 使得 $C R = \sqrt{5}$ ？若存在，求出 $α$ ；若不存在，请说明理由；
（ii）若 $O S / / A R$ ，点S到平面ABR的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ ，求 $\tan α$ 与 $\tan β$ ．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{5}, A C = 2 \sqrt{2}, C D = 2 B D = 2$ ．将 $△ A C D$ 沿AD翻折至 $△ A E D$ ．

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $B D E$ .；

(2)、若二面角 $E - A D - B$ 的平面角为 $60^{°}$ ，求直线AB与平面AED所成角的正弦值．

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20、已知集合 $U = {1, 2}, A, B, C$ 是 $U$ 的子集，且 $A \cup B \cup C = U$ ，则 $A \cap B \cap C = \emptyset$ 的概率为．

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编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$x$	18.1	20.1	22.2	24.4	26.0	28.3	29.6	32.4	33.7	35.7	38.3	40.2
$y$	18.8	19.2	21.0	21.0	22.1	22.1	22.4	22.6	23.0	24.3	23.9	24.7