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1、数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = \frac{1}{5}, a_{4} = \frac{1}{9}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，则使不等式 $S_{n} > \frac{5}{33}$ 成立的 $n$ 的最小值为（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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2、如图，在平面直角坐标系xOy中，O是正六边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{6}$ 的中心，若 $A_{1} (\frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4})$ ，则点 $A_{3}$ 的纵坐标为 $($ $)$

A、 $\frac{- \sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5} + 1}{8}$

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3、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{3 (\sin A - \sin B)}{\sin C} = \frac{3 c - 2 b}{a + b}$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{16}{3} \sqrt{2}$ ．
①已知 $E$ 为 $B C$ 的中点，求 $△ A B C$ 底边 $B C$ 上中线 $A E$ 长的最小值；
②求内角A的角平分线 $A D$ 长的最大值．

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4、已知复数 $z_{1} = a + i$ ， $z_{2} = 1 - a i$ ，（ $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位）．

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $z_{1}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根，求实数 $a$ 的值；

(3)、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，且 $z_{1}^{2} + m z_{1} + n$ $(m, n \in R)$ 是实数，求实数 $m$ 的值．

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5、如图， $A B$ 是圆柱的底面直径， $A B = 2, P A$ 是圆柱的母线且 $P A = 2$ ，点 $C$ 是圆柱底面圆周上的点．

(1)、求圆柱的侧面积和体积；

(2)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、若 $A C = 1, D$ 是 $P B$ 的中点，点 $E$ 在线段 $P A$ 上，求 $C E + E D$ 的最小值．

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6、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点都在表面积为 $100 π$ 的球 $O$ 的表面上，若 $A D$ 是球 $O$ 的直径，且 $B C = 4$ ， $∠ B A C = 150 °$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的最大值为．

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7、“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 15^{\circ}$ ， $∠ B D C = 135^{\circ}$ ， $C D = 20 m$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔高 $A B =$ $m$ ．

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8、已知复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z + 3 - 4 i|$ （ $i$ 为虚数单位）的最大值为．

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9、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，点 $A$ 折至 $A_{1}$ 处（ $A_{1} \notin$ 平面 $A B C D$ ），若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，平面 $A_{1} D E$ 与平面 $D E B C$ 所成锐二面角 $α$ ，直线 $A_{1} E$ 与平面 $D E B C$ 所成角为 $β$ ，则在 $△ A D E$ 折起过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $B M ⊥ A_{1} D$ B、 $△ A_{1} E C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sin α = \sqrt{2} \sin β$ D、三棱锥 $A_{1} - E D C$ 体积最大时，三棱锥 $A_{1} - E D C$ 的外接球的表面积 $16 π$

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10、三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱 $P A, P B, P C$ 上分别有三点E，F，G，且 $\frac{P E}{E A} = 1, \frac{P F}{F B} = \frac{1}{2}, \frac{P G}{G C} = \frac{1}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 与 $P - E F G$ 的体积之比是（）

A、6 B、8 C、12 D、24

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11、如图，在直三棱柱 $A B D - A_{1} B_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1}, ∠ A B D = 45 °$ ， P为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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12、水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图，其中 $B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ， $A^{'} O^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么原 $△ A B C$ 是一个（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、三边中只有两边相等的等腰三角形 D、三边互不相等的三角形

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13、复数 $z = \frac{5}{1 - 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学.20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n，将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为 $a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和；

(2)、求 $a_{2^{n}} (n \in N^{*})$ 的表达式和 $a_{31 \times 37}$ 的值；

(3)、记 $b_{n} = \frac{(n^{2} + n)}{a_{2^{n}}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，证明 $S_{n} < 16$ ．

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{6}}{3})$ 在椭圆上，且直线 $P F_{1}$ 与 $P F_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{2}{3}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $l : y = k x + m (k > 0, m > 0)$ 与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程；
（ⅱ）若点B与点 $F_{1}$ 重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求 $\frac{| M N |}{| Q F_{1} |}$ 的值．

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16、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1, C D = A D = 2, B C = 3, ∠ B A D + ∠ B C D = π$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ ；

(2)、 $P$ 为边 $B C$ 上一点，且 $△ P C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B P$ 的外接圆半径．

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17、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是正三角形， $A_{1} A ⊥$ 平面ABC， $A B = 2 A_{1} A = 2 A_{1} C_{1} = 4$ ， M，N分别为棱 $A B, B_{1} B$ 的中点.

(1)、证明： $B_{1} B ⊥$ 平面 $M C N$ ；

(2)、求直线 $C_{1} C$ 与平面 $M C N$ 所成的角的正弦值.

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18、“四进制”是一种以 $4$ 为基数的计数系统，使用数字 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ 来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以 $4$ 的相应次方（从 $0$ 开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数 $013$ 转换为十进制数为 $0 \times 4^{2} + 1 \times 4^{1} + 3 \times 4^{0} = 7$ ；四进制数 $0033$ 转换为十进制数为 $0 \times 4^{3} + 0 \times 4^{2} + 3 \times 4^{1} + 3 \times 4^{0} = 15$ ；四进制数 $1230$ 转换为十进制数为 $1 \times 4^{3} + 2 \times 4^{2} + 3 \times 4^{1} + 0 \times 4^{0} = 108$ ；现将所有由 $1$ ， $2$ ， $3$ 组成的 $4$ 位（如： $1231$ ， $3211$ ）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被 $3$ 整除的概率为．

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19、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $A B = 4$ ， M，N，D，Q分别为棱 $A B, A C, B_{1} C_{1}, A A_{1}$ 的中点， $D Q ⊥ Q M$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $B_{1} C_{1} / /$ 平面 $Q M N$ B、 $A A_{1} = \sqrt{6}$ C、点Q到平面 $D M N$ 的距离为 $\sqrt{6}$ D、三棱锥 $D - Q M N$ 的外接球表面积为 $\frac{131 π}{18}$

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20、已知 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{x + 1} - a$ ．若 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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