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相关试卷

1、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 2$ ， $S_{6} = 12$ ，记 $T_{n}$ 为 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $T_{8} =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{116}{45}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{232}{5}$

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2、从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（）

A、540 B、180 C、360 D、1080

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3、某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（）

A、 $\frac{20}{27}$ B、 $\frac{12}{27}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{4}{27}$

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4、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：
$X$
0
1
2
$P$
0.3
$4 a$
$3 a$
若离散型随机变量 $Y = 3 X - 2$ ，则 $Y$ 的方差 $D (Y) =$ （）

A、0.6 B、5.4 C、1 D、3.4

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5、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 8$ ，则 ${log}_{2} a_{1} + {log}_{2} a_{5} =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 1) = 0.4$ ，则 $P (2 \leq ξ \leq 3) =$ （）

A、0.6 B、0.2 C、0.1 D、0.4

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7、若 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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8、若函数 $y = f (x)$ 是其定义域内的区间 $I$ 上的严格增函数，而 $y = \frac{f (x)}{x}$ 是 $I$ 上的严格减函数，则称 $y = f (x)$ 是 $I$ 上的“弱增函数”.若数列 $\{a_{n}\}$ 是严格增数列，而 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是严格减数列，则称 $\{a_{n}\}$ 是“弱增数列”.

(1)、判断函数 $y = ln x$ 是否为 $(e, + \infty)$ 上的“弱增函数”，并说明理由（其中 $e$ 是自然对数的底数）；

(2)、已知函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = - 2 x^{2} - 4 x - 8$ 的图像关于坐标原点对称，若 $y = f (x)$ 是 $[m, n]$ 上的“弱增函数”，求 $n - m$ 的最大值；

(3)、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设 $T_{n} = \frac{S_{n} + 2 λ}{2^{n}} (n$ 是正整数，常数 $λ \geq - 2)$ ，若存在正整数 $k$ 和 $m$ ，使得 $k > m > 1$ 且 $T_{k} = T_{m}$ ，求 $λ$ 所有可能的值.

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9、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 1$ ， $A_{1} C = \sqrt{3}$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A_{1} C ⊥ A B$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求直线 $B A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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10、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ， $2 sin (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{a}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $b = 1$ ， $△ A B C$ 为锐角三角形，求c的取值范围．

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11、为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表.
性别
愿意
不愿意
男生
6
10
女生
18
6

(1)、根据该 $2 \times 2$ 列联表，并依据显著水平 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；

(2)、在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布及期望 $E [X]$ .
附： $P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ .

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12、已知在 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，其外接圆的圆心为 $O$ ，则 $\overset{⃑}{A O} \cdot \overset{⃑}{B C}$ 的值为.

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13、若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处存在导数，则 $\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ 的值（）

A、与 $x_{0}$ 有关 B、与h有关 C、与 $x_{0}$ 无关 D、与h无关

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14、已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $- 1$ 的等差数列，且 $a_{4}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{5}$ 的等比中项， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{6} =$ （）

A、 $- 90$ B、 $- 45$ C、0 D、15

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15、已知向量 $\vec{a} = (x ， 2) ， \vec{b} = (1 ， 1)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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16、已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，则该椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{28} = 1$

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17、已知集合 $A = \{x |y = \ln (x - 1)\}$ ， $B = \{x |- 1 < x < 3\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $(- \infty, 1] \cup [3, + \infty)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- \infty, 3)$

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18、已知i为虚数单位，若 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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19、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} c = b (sin A + \sqrt{3} cos A)$ ， $cos (\frac{π}{3} - A) sin (\frac{π}{6} + A) = \frac{3}{4}$ ，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不确定

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20、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + 1$ 在 $x = - 4$ 处取得极大值，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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$X$	0	1	2
$P$	0.3	$4 a$	$3 a$

性别	愿意	不愿意
男生	6	10
女生	18	6