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相关试卷

1、若对任意正整数 $n$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 都是完全平方数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = {(n - t)}^{2}$ ，（ $t$ 为正整数），则使得数列 $\{|b_{n}|\}$ 为“完全平方数列”的 $t$ 值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是（）

A、①是真命题， ②是真命题； B、①是真命题， ②是假命题； C、①是假命题， ②是真命题； D、①是假命题， ②是假命题.

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2、甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（）

A、甲得分的极差小于乙得分的极差 B、甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C、甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D、甲得分的方差小于乙得分的方差

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3、“ $a > b$ ”的一个必要非充分条件是（）

A、 $\ln (a - b) > 0$ B、 $2^{a} > 2^{b}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a - b} \leq 1$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5、空间中有相互垂直的两条异面直线 $l_{1} 、 l_{2}$ ，点 $A 、 B \in l_{1},_{} C 、 D \in l_{2}$ ，且 $A B = 4, C D = 1$ ，若 $D A ⊥ D B$ ，且 $A C = B C + 2$ ，则二面角 $D - A B - C$ 平面角的余弦值最小为.

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6、某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为 $x$ 元 $（ 8 \leq x \leq 11 ）$ 时，一年的销售量为 $（ 12 - x ）^{2}$ 万件，则每件产品售价为元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元）

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7、有 $3$ 件商品的编号分别为 $i (i = 1, 2, 3)$ ，它们的售价（元） $S (i) \in \{5, 7, 8, 10, 11, 20\}$ ，且满足 $S (1) \leq S (2) \leq S (3)$ ，则这 $3$ 件商品售价的所有可能情况有种.

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8、已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $S_{△ A C D} = 2 S_{△ A B D}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值为.

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9、已知圆柱的底面积为 $9 π$ ，侧面积为 $18 π$ ，则该圆柱的体积为.

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10、已知函数 $y = a^{x + 1} - \log_{a} (x + 2) + 1_{} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的图像经过定点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为

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11、 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的二项展开式中， $x^{2}$ 项的系数为.

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12、若函数 $f (x) = (m - 1) x^{2} + 3 x + (2 - n)$ 是奇函数，则 $m + n$ =

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 ， x < 1, \\ f (x - 2) ， x \geq 1. \end{array}$ 则 $f (4)$ =.

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14、已知集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{2, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ .

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15、 $i$ 是虚数单位，则 $|1 + i| =$ ．

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16、如图，等腰直角三角形 $A C B$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⏜}{A B}$ 所在平面垂直，且 $A C = B C$ ， M是 $\overset{⏜}{A B}$ 上异于A、B的点，N是 $A M$ 的中点．

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $O C N$ ；

(2)、若三棱锥 $M - A B C$ 体积最大为 $\frac{1}{3}$ ，设 $∠ M A B = α$ ，
（ⅰ）求体积最大时α的值及此时二面角 $C - A M - B$ 的余弦值；
（ⅱ）当M在弧 $\overset{⏜}{A B}$ 上运动时（不与A、B重合），证明：点O到平面 $B C M$ 的距离 $d = \frac{\cos α}{\sqrt{1 + \cos^{2} α}}$ ．

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17、在学习了解三角形后，小万和小千尝试探究下面的问题：如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{8}$ ， $D$ 在边 $A C$ 上，且 $A D : C D = 2 : 1$ ，连接 $B D$ ，请完成下述两个问题，并且写出解答过程．

(1)、小万说：我能求出 $A C$ 边的最短长度；

(2)、小千说：我能求出 $B D$ 边的最短长度；

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18、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $2 A D = 2 D C = 2 C B = A B = 2$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 在线段 $C D$ 上（含边界）， $B F$ 和 $C E$ 相交于点 $M$ ，令 $\vec{A E} = \vec{a}$ 、 $\vec{A D} = \vec{b}$ ，

(1)、若 $F$ 是 $C D$ 的中点，用 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 表示 $\vec{B F}$ ；

(2)、若 $\vec{D F} = λ \vec{D C}$ ，求 $\vec{A M}$ 并求 $|\vec{A M}|$ 的取值范围．

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19、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $3$ 的正方形， $M$ 是 $P D$ 的中点，

(1)、证明： $P B //$ 平面 $M A C$ ；

(2)、若 $M$ 在底面 $A B C D$ 上的投影为底面中心，求直线 $B P$ 到平面 $M A C$ 的距离．

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20、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足以下条件： $\{\begin{array}{l} 2 \vec{a} + \vec{b} = (4, - 1) \\ \vec{a} - 2 \vec{b} = (- 3, - 8) \end{array}$

(1)、求 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (m - 1, 2 m)$ 且 $\vec{c} // (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、若 $\vec{d} = (x, y)$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{d})$ ， $|\vec{d}| = 5$ ，求 $\vec{d}$ ．

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