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相关试卷

1、已知集合 $U = \{x |x + 3 \geq 0\}$ ，集合 $A = \{x |- 2 < x < 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 3, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $[- 3, 2)$ C、 $[- 3, - 2] \cup [2, + \infty)$ D、 $[- 2, 3)$

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\overset{⃑}{A C} \cdot \overset{⃑}{A B} = b^{2} - \frac{1}{2} a b$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $sin A + sin B + sin C$ 的取值范围.

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3、袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.

(1)、每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；

(2)、从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件 $A = {$ 第一次取到的是红球 $}$ ，事件 $B = {$ 第二次取到了标记数字1的球 $}$ ，求 $P (A), P (B)$ ，并判断事件 $A$ 与事件 $B$ 是否相互独立.

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上的点， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $B D = 4$ ， $C = \frac{π}{3}$ ， $A D = \sqrt{7}$ .
（1）求角 $B$ 的大小；
（2）求 $△ A C D$ 的面积.

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5、已知复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ .
（1）若 $|z| = 2$ ，求： $z \cdot \bar{z}$ ；
（2）若复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限，且 $z + 2 \bar{z} + b i = 2 + b$ ，求 $a$ 的取值范围.

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6、若向量 $\vec{a} = (1, - x)$ 与向量 $\vec{b} = (x, - 16)$ 方向相反，则 $x =$ ．

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7、高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ ，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（）

A、学生成绩众数估计为75分 B、考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C、在 $[90, 100]$ 内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D、从 $[40, 50)$ 和 $[90, 100]$ 内各抽1名学生， $[70, 80)$ 抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13

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8、下列说法中正确的是（）

A、圆柱的母线和它的轴可以不平行 B、圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 C、以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱､两个圆锥

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9、十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $120^{\circ}$ ；当三角形有一内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知 $a, b, c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b^{2} - {(a - c)}^{2} = 6$ ， $\frac{\cos A}{2 \cos B} = \sin (C - \frac{π}{6})$ ，若点P为 $△ A B C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 4$ C、 $- 3$ D、 $- 2$

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10、已知随机事件 $A$ 和 $B$ 互斥， $A$ 和 $C$ 对立，且 $P (A \cup B) = 0.5, P (B) = 0.2$ ，则 $P (C) =$ （）

A、0.8 B、0.7 C、0.6 D、0.5

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11、为了解某小区户主对楼层的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取40%的户主进行调查，已知该居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的低层户主中满意的人数分别为（）．

A、240，32 B、320，32 C、240，80 D、320，80

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12、若在 $△ A B C$ 中， $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 6$ ，则 $\sin B$ 等于（）

A、 $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{11}}{5}$

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13、设复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $z$ 的实部与虚部的和为（）

A、 $- 1$ B、1 C、5 D、7

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14、若O，A，B是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是

A、 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}$ B、 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{O B} - \overset{⇀}{O A}$ C、 $\overset{⇀}{A B} = - \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O A}$ D、 $\overset{⇀}{A B} = - \overset{⇀}{O B} - \overset{⇀}{O A}$

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15、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为圆 $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ 上的动点， $|P F|$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $M_{1} (1, \frac{1}{2})$ ，按照如下方式构造点 $M_{n} (n = 1, 2, 3, 4, \dots)$ ，设直线 $l_{n}$ 为 $C$ 在点 $M_{n}$ 处的切线，过点 $M_{n}$ 作 $l_{n}$ 的垂线交 $C$ 于另一点 $M_{n + 1}$ ，记 $M_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．
①证明：当 $n \geq 1$ 时， $|M_{n} F| \geq 2 n - 1$ ；
②设 $△ M_{n} F M_{n + 1}$ 的面积为 $S_{n}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{S_{k}^{2}} < \frac{3}{8}$ ．

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16、对集合 $A, B$ ，定义集合 $A △ B = \{x |x \in A, x \notin B 或 x \in B, x \notin A\}$ ，记 $|X|$ 为有限集合 $X$ 的元素个数．

(1)、若 $A = \{1, 2\}, B = \{2, 3, 4\}$ ，求 $A △ B$ ；

(2)、给定集合 $S = \{1, 2, 3, 4\}$ 的子集 $M$ ，求集合 $\{X |X \subseteq S, |X △ M| = 1\}$ 的元素个数；

(3)、设 $A, B, C$ 为有限集合，证明： $|A △ C| \leq |A △ B| + |B △ C|$ ．

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17、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + \ln x$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + a x$ ，已知 $g (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．
①求 $a$ 的取值范围；
②求证： $g (x_{1}) + g (x_{2}) < - 3$ ．

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18、体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
$a$

女生
$b$
25

合计

100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？

(3)、用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为 $Z$ ，求使事件“ $Z = k$ ”概率最大的 $k$ 的值．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A D = 1, A B = 2$ ， $△ P A D$ 为等边三角形， $P A ⊥ C D$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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20、已知正整数 $n$ ，欧拉函数 $φ (n)$ 表示 $1$ 、 $2$ 、 $\dots$ 、 $n$ 中与 $n$ 互质的整数的个数，例如， $φ (4) = 2$ ， $φ (10) = 4$ ，且 $a$ 、 $b$ 互质时， $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ ．若从 $1$ 、 $2$ 、 $\dots$ 、 $10$ 中随机取一个数 $m$ ，则满足 $φ (2 m) = φ (3 m)$ 的概率为．

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	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男生	40	$a$
女生	$b$	25
合计			100

$α$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$