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相关试卷

1、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2024 \times 2025} =$ ．

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2、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第 $1$ 行开始，第 $n$ 行从左至右的数字之和记为 $a_{n}$ ，如 $a_{1} = 1 + 1 = 2$ ， $a_{2} = 1 + 2 + 1 = 4$ ， $\dots$ ， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，依次去掉每一行中所有的 $1$ 构成的新数列 $2$ 、 $3$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $6$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $10$ 、 $5$ 、 $\dots$ ，记为 $\{b_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，则下列说法正确的有（）
$\begin{array}{l} \begin{matrix} 第 1 行 & 1 & 1 \\ 第 2 行 & 1 & 2 & 1 \\ 第 3 行 & 1 & 3 & 3 & 1 \\ 第 4 行 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 第 5 行 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \dots & \dots \end{matrix} \end{array}$

A、 $S_{10} = 1022$ B、 $\{\frac{2 a_{n}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{a_{n + 2} - 2}$ C、 $b_{57} = 66$ D、 $T_{57} = 4150$

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3、已知 $(2 + x) {(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则（）

A、 $a_{0}$ 的值为2 B、 $a_{5}$ 的值为80 C、 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + a_{5})}^{2}$ 的值为 $- 3^{6}$ D、 $\sum_{i = 0}^{6} (2^{6 - i} \cdot a_{i}) = 0$

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4、设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导函数 $f^{'} (x)$ ，对任意实数 $x$ ，都有 $f (x) = f (- x) + 2 x$ ，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) < 2 x + 1$ ，若 $f (2 - a) \leq f (- a) - 4 a + 6$ ，则实数 $a$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5、在 ${(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7} + \dots + {(1 - x)}^{12}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是（）

A、690 B、 $- 690$ C、710 D、 $- 710$

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6、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = 20$ ， $S_{6} = 12 S_{2}$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、40 B、60 C、76 D、88

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7、在送课下乡支教活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教师到三所薄弱学校支教，每所学校至少安排一名教师，且甲、乙两名教师安排在同一学校支教，丙、丁两名教师不安排在同一学校支教，则不同的安排方法总数为（）

A、20 B、24 C、30 D、36

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、2 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = n^{2} + 1$ ，则122是该数列的（）

A、第10项 B、第11项 C、第12项 D、第13项

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10、已知函数 $f (x) = e^{a x} - \frac{ln x}{x} - \frac{1}{x} (a \geq 0)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e^{2}]$ 的值域；

(2)、证明： $f (x)$ 存在唯一的极值点 $x_{0}$ ，且 $\frac{1}{a + 1} \leq x_{0} \leq 1$ ；

(3)、若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，证明： $2 a sin \frac{2}{3 a} > 1$ ．

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11、甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；

(2)、如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望；

(3)、如果每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙获胜的概率为 $q (q = 1 - p)$ ，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论．

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12、已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 2, 4)$ ，则 $\frac{2 + \sin α \cos α}{2 \sin^{2} α + \cos^{2} α} =$ ．

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13、如图，在四棱锥 $P － A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D ⊥ A B ， ∠ B C D = 45 ° ，$ $A D = 1 ，$ $B C = \sqrt{2}$ ， $P D ⊥ A D$ .现设 $P D = t ， C D = 4 － t ， 0 ＜ t ＜ 3$ .

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当 $t = 1$ 时，侧棱PC上点M满足 $B M = \sqrt{2}$ ， $∠ A B M = 45 ° .$ 证明：M是侧棱 $P C$ 的中点；

(3)、当 $∠ P D C = 120 °$ 时，求三棱锥 $P － B C D$ 的外接球体积的最小值.

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14、已知向量 $\vec{m} = (\sin (\frac{π}{4} + x), \sqrt{3} \sin x)$ ， $\vec{n} = (\sin (\frac{π}{4} - x), \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、化简 $f (x)$ 并写出 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ， $A C = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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15、2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是 $\frac{9}{32}$ ，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是 $\frac{19}{24}$ .各家庭回答是否正确相互独立.

(1)、求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；

(2)、求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A C ⊥ B C$ ， $B C = C C_{1}$ ，设 $A B_{1}$ 的中点为D， $B C_{1}$ 的中点为E.求证：

(1)、 $D E / /$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ .

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17、已知复数 $z = m - i$ （ $m \in R$ ），且 $\bar{z} \cdot (1 + 3 i)$ 为纯虚数（ $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数）.

(1)、设复数 $z_{1} = \frac{m + 2 i}{1 - i}$ ，求 $|z_{1}|$ ；

(2)、复数 $z_{2} = \frac{a - i^{2025}}{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知 $| \vec{A B} | = 6$ ，平面上动点 $P$ 满足 $|\vec{A P} - t \vec{A B}| \geq 4$ 对任意 $t \in R$ 恒成立，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最小值为，此时 $| \vec{P A} + \vec{P B} | =$ .

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19、已知60个样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{59}, x_{60}$ 的平均数为3，其中 $\sum_{i = 1}^{60} x_{i}^{2} = 1260$ ，则这60个数据的方差为.

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20、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则该棱台的体积．

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