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相关试卷

1、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90 °$ 、 $180 °$ 、 $270 °$ 后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 4$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{3}{4}$ D、阴影区域的面积大于4

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2、下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）

A、 $C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + \dots + C_{10}^{3} = 330$ B、设 $x = A_{90}^{90} \times (\frac{2}{A_{3}^{3}} + \frac{3}{A_{4}^{4}} + \frac{4}{A_{5}^{5}} \dots + \frac{89}{A_{90}^{90}})$ ，则 $x$ 的个位数字是6 C、已知 $n > m$ ，则等式 $\frac{C_{n}^{m}}{m + 1} = \frac{C_{n + 1}^{m + 1}}{n + 1}$ 对任意正整数 $n$ ， $m$ 都成立 D、等式 ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ 对任意正整数 $n$ 都成立

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3、已知函数 $f (x) = - 4 \cos x \cos (x + \frac{π}{3}) + 1$ ，则下列说法正确的是（）．

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $x = \frac{5 π}{6}$ 为函数 $f (x)$ 图像的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{4 π}{3}, \frac{19 π}{12}]$ 上单调递减 D、函数 $y = f (x) + \frac{3}{2}$ 在 $[0, π]$ 上有3个零点

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4、已知 $O$ 为坐标原点， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 为单位向量， $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{O B} = \frac{3}{2}$ ， $C$ 在定直线 $l : y = x + 2 \sqrt{2}$ 上，不等式 $|\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}| \geq T$ 恒成立，则实数 $T$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2 + \sqrt{3}]$ B、 $(- \infty, 2 - \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty, 2 \sqrt{3}]$ D、 $(- \infty, \sqrt{3}]$

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5、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + a^{3}$ ，则下面正确的是（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、若 $a > 0$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ C、若 $f (x)$ 有3个零点，则 $a$ 的取值范围是 $(0, \sqrt[3]{4})$ D、若存在 $s, t \in R$ ，满足 $f (s - t) + f (s + t) = 2 f (s)$ ，则 $s t = 1$

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6、若 $\tan θ = 3 \tan α, \sin (θ + α) = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos 2 (θ - α) =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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7、给出下列说法，其中正确的是（　　）

A、某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为 $4$ B、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots$ 的平均数为2，方差为3，那么数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ 的平均数和方差分别为5，13 C、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.25 x + 1.5$ 中，相对于样本点 $(2, 1.2)$ 的残差为 $- 0.8$ D、样本相关系数 $r \in (- 1, 1)$

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8、一节阅读课，共有n位读者 $(n \geq 3, n \in N^{*})$ 围坐在圆桌前．每人面前和桌正中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每课只能选一种书．

(1)、当 $n = 3$ 时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前书的概率；

(2)、规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第i位读者面前的这种书编号为 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ ．用 $Y_{i} = 0$ 表示“编号为i的书未被选”， $Y_{i} = 1$ 表示“编号为i的书被选”．
（ⅰ）求 $Y_{1}$ 的概率分布；
（ⅱ）第一节阅读课后编号为i的书选择情况取值为 $Y_{i}$ ，第二节课后编号为i的书选择情况取值为 ${Y^{'}}_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ．记 $X = \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} {Y^{'}}_{i}$ ，求X的分布列与数学期望．

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9、如图，已知圆台 $O O_{1}$ 的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为 $30 °$ ．

(1)、求圆台 $O O_{1}$ 的体积；

(2)、设 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 分别是圆台 $O O_{1}$ 的两条母线．
（ⅰ）求证： $A B // A_{1} B_{1}$ ；
（ⅱ）若 $∠ A O B = 120 °$ ， P是圆 $O_{1}$ 上的动点，求直线 $O P$ 与平面 $O_{1} A B$ 所成角正弦值的最大值．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a \ln x$ ， $a > 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调增区间；

(3)、若 $f (x)$ 存在极大值点 $x_{0}$ ，求证： $f (x_{0}) < 0$ ．

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11、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， D是 $B C$ 中点，E是棱 $C C_{1}$ 上一点．

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若平面 $B_{1} E A ⊥$ 平面 $A D E$ ，求 $C E$ 的长．

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12、为了解高中生的体育成绩（优秀与非优秀）和性别是否有关，对某高中在校学生进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
优秀
非优秀
合计
男
s
30
50
女
5
t
50
合计
25
75
100

(1)、求 $s + t$ 的值；

(2)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为体育成绩与性别有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $a + b + c + d = n$ ．
$P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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13、随机变量 $X \sim B (n, p)$ ．若 $D (2 X + 1) = λ D (X)$ ，则 $λ =$ ；若 $D (2 X + 1) = E (X^{2})$ ，则p的最大值为．

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14、函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{1}{3}$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最大值为．

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15、底面边长为2，高为 $\sqrt{3}$ 的正四棱锥的侧面积为．

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16、已知实数a，b满足 $e^{a (1 - b^{2})} = b^{2}$ ，则（）

A、当 $b = 1$ 时， $a \in R$ B、当 $b \neq 0$ 且 $b \neq \pm 1$ 时， $- 1 < a < 0$ C、当 $b > 1$ 时， $a < - 1$ D、当 $- 1 < b < 0$ 时， $a < - 1$

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点P在棱 $D D_{1}$ 上，点Q在面 $A B C D$ 内，则（）

A、 $A C ⊥ B P$ B、点P到平面 $A A_{1} C_{1} C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ C、二面角 $B_{1} - A C - B$ 的正切值为1 D、 $B_{1} Q + Q D_{1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{6}$

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18、一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有 $1 ~ 9$ 这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（）

A、 $P (B) = \frac{4}{9}$ B、 $P (A B) = P (A) P (B)$ C、 $P (B | A) = \frac{1}{2}$ D、 $P ((A + \bar{A}) | B) = 1$

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19、平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A D = C D = 1$ ．现将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ B_{1} A C$ ，使得 $B_{1} D = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $3 π$ D、 $\frac{\sqrt{15} π}{2}$

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20、某学校的学生中， $60 %$ 是男生， $40 %$ 是女生．已知男生中有 $30 %$ 喜欢篮球，女生中有 $20 %$ 喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（）

A、0.30 B、0.26 C、0.24 D、0.20

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	优秀	非优秀	合计
男	s	30	50
女	5	t	50
合计	25	75	100

$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828