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相关试卷

1、已知 $O$ 为坐标原点， $P (- 1, 1)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ 的准线上的一点，过 $C$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为 $A B$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $|P F| = 2$ B、 $△ O A B$ 为钝角三角形 C、直线 $O Q$ 的斜率的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若 $P A ⊥ P B$ ，则直线 $l$ 的斜率为2

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2、以下四个命题是真命题的是（）

A、直线 $(m + 1) x - 2 m y - 3 = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(3, 6)$ B、若直线 $l_{1}$ ： $m x + y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $3 x - (m - 1) y + 3 = 0$ 互相垂直，则 $m = - \frac{1}{2}$ C、已知直线 $l_{1}$ ： $a x + y - 2 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $a x - (a - 2) y + 1 = 0$ 平行，则 $a = 1$ D、过点 $A (3, 1)$ 的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 $x - y - 2 = 0$ 或 $x - 3 y = 0$

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为 $C$ 上一点．直线 $A F_{2}$ 与 $C$ 交于另一点 $B$ ，若 $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{F_{2} B}$ ， $|O F_{1}| = |O A|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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4、已知 $m > 0$ ，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{m^{2} + 4} = 1$ 的长轴长是短轴长的 $\sqrt{3}$ 倍，则 $m =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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5、直线 $3 x - \sqrt{3} y - 4 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6、把一个底面半径为4，高为 $\frac{1}{6}$ 的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为.

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7、已知 $a > 0, b > 0, \frac{5}{a + 1} + \frac{6}{b + 1} = 8$ ，则 $6 a + 5 b$ 的最小值为，此时 $\frac{b}{a} =$ .

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8、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + b$ ．

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $\{x | 1 \leq x \leq 2\}$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $b = 2$ ，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；

(3)、在（1）的条件下，若对任意 $x > 1$ ，不等式 $\frac{f (x) + 1}{a x - 1} \geq 2 k^{2} + k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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9、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 4 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在给定的坐标系中画出函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的图象（不用列表）；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有4个不同的实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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10、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且 $y = f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上为严格减函数，则不等式 $f (- x^{2}) > f (- 1)$ 的解集为.

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 m - 1) x + 4 m, x < 1 \\ - x^{2} + 2 m x - 2 m + 1, x \geq 1 \end{array}$ 为定义在 $R$ 上的减函数，下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值范围为 $[\frac{1}{7} ， \frac{1}{3})$ B、 $\forall a \in R, f (a^{2}) < f (a - 1)$ C、若 $f (a - 4) > f (3 a)$ ，则 $a$ 的取值范围是 $(- 2, + \infty)$ D、函数的值域为 $R$

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12、若 $a > 0, b > 0, a + b = 3$ ，则下列不等式对一切满足条件的 $a, b$ 恒成立的是（）

A、 $a b \leq \frac{9}{4}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{6}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 9$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{3}$

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13、若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意 $x$ ，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ .则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”.给出下列四个函数：
① $f (x) = x^{2}$ ；② $f (x) = x^{3}$ ；③ $f (x) = \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ ；④ $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 4 x, x \geq 0 \\ - x^{2} + 4 x, x < 0 \end{cases}$
其中是“理想函数”的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14、已知函数 $f (1 - x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}} (x \neq 0)$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 0)$ B、 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 1)$ C、 $\frac{4}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 0)$ D、 $\frac{4}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 1)$

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15、设 $x \in R$ ，则“ $\frac{1}{x - 1} \geq 1$ ”是“ $1 \leq x \leq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = {x | - 1 \leq x < 1,$ $x \in Z}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $[- 1$ ， $2]$ D、 $[- 1$ ， $2)$

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17、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且满足 $sin α tan β = 1 - cos α$ ， $cos (α - β) = \frac{3}{4}$ ，则 $cos α =$ ．

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} = b (c + b)$ ，则（）

A、 $a > b$ B、 $C = 2 B$ C、 $B \in (0, \frac{π}{3})$ D、 $\frac{a}{b} \in (0, 1)$

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19、如图，已知圆 $M : x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ ， $P (- 1, t)$ 为直线 $l : x = - 1$ 上一动点， $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ .

(1)、求四边形 $P A M B$ 面积的最小值；

(2)、求证：直线 $A B$ 过定点；

(3)、若两条切线 $P A$ ， $P B$ 与 $y$ 轴分别交于点 $S$ ， $T$ ，求 $|S T|$ 的最小值.

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $B_{1} C_{1}$ 与平面 $C D E$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点；

(2)、点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点.
（i）若 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，正方体棱长为2，求平面 $M C F$ 截正方体所得的截面面积；
（ii）若二面角 $M - F C - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}$ 的值.

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