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相关试卷

1、三次方程 $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ 可以通过坐标变换 $x = x^{'} - \frac{a}{3}$ 变形为不含二次项的三次方程 ${x^{'}}^{3} + p x^{'} + q = 0$ .该三次方程其中一个根的求根公式为 $x^{'} = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} +$ $\sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}}$ ，其判别式 $Δ = {(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}$ .

(1)、将三次方程 $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3 = 0$ 变形为不含二次项的三次方程的形式，并写出变形后方程的其中一个根（无需过程）；

(2)、方程 $x^{3} + p x + q = 0$ 的三个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} = x_{2} \neq x_{3}$ ），
（ⅰ）求证： $Δ = 0$ ；
（ⅱ）设函数 $f (x) = x^{3} + p x + q$ ， $x_{0}$ 为方程 $f (x) = 0$ 的一根，若不等式 $f (x) (x + p) > 0$ 在 $(\frac{1}{4}, x_{0})$ 上有解，求 $x_{0} - \sqrt{\frac{12}{- p}}$ 的取值范围.

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2、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = a m^{x} + b m^{- x}$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ），

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求 $a^{2} - 2 b$ 的最小值；

(2)、探究函数 $f (x)$ 是否存在对称中心，若存在，求出a，b需要满足的条件及对称中心并说明理由；

(3)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，且 $m^{2 x} + m^{- 2 x} + f (x) \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，求实数a的取值范围.

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3、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3) x^{3 m - 4}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求m的值；

(2)、当 $x \in [- 1, 3]$ 时，求函数 $g (x) = f (x) - 2 t x$ 的最小值.

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4、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |2 x^{2} - x - 3 > 0\}$ ， $B = \{x \in R |m - 1 < x < 2 m + 1\}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cap B$ ：

(2)、若 $(∁_{U} A) \cup B = ∁_{U} A$ ，求实数m的取值范围.

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5、（1）求值： ${(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}} \times {(- \frac{7}{6})}^{0} + 8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} - \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{\frac{2}{3}}}$
（2）已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，求 $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 2}{a + a^{- 1} - 1}$ 的值.

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6、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 为增函数，当 $x \neq 0, f (x) \neq 0$ 时，满足 $f (x) \cdot f [\frac{1}{f (x)} + \frac{1}{x}] = 1$ ，则 $f (1) =$ .

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7、已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - (2 + k) x + 4}$ 的定义域为 $R$ ，则k的取值范围为.

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8、函数 $y = \frac{2}{x - 1}, x \in [2, 6]$ 的最大值为

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9、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = 3 a + b + 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a > 1$ B、 $a + b$ 的最小值为8 C、 $a b$ 的最小值是 $2 + \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b - 3}$ 的最小值为2

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10、 $2025$ 年8月 $27$ 日，我国新疆、西藏等地发生多次 $3.1$ 至 $4.7$ 级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级R与地震释放能量E的关系为 $E = k \cdot 10^{\frac{3}{2} R}$ .已知6级地震释放的能量为 $6.3 \times 10^{13} J$ ，则下列说法正确的是（）

A、震级越大，地震释放的能量越大 B、 $k = 6.3 \times 10^{5}$ C、8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D、某次地震释放的能量为 $7 \times 10^{9} J$ ，则该地震为有感地震

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11、下列集合表示图中阴影部分的为（）

A、 $B \cup (∁_{U} A)$ B、 $A \cap (∁_{U} B)$ C、 $∁_{A} (A \cap B)$ D、 $∁_{A \cup B} B$

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12、定义集合运算⊕，A， $B \subseteq R$ ， $A \oplus B = A \cup B \cup \{x |x = a + b, a \in A, b \in B\}$ ， $n (A)$ 表示集合A中元素的个数，则以下说法不正确的是（）

A、若 $A \oplus B = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{2\}$ ，则 $A = \{1, 2\}$ B、若 $n (A) = n (B) = 2$ ，则 $n (A \oplus B)$ 的值可能为4 C、 $n (A \oplus B) \leq n (A) + n (B) + n (A) \times n (B)$ D、 $n (A \oplus B) \geq \min \{n (A), n (B)\} + 1$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - a, x \leq 0 \\ x + 1, x > 0 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[0, 1]$

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，则 $f (- 1) + f (0) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、3

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域是D，则“ $f (x)$ 的最小值是m”是“对任意 $x \in D$ ， $f (x) \geq m$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、不等式 $| 2 x - 1 | \leq 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, 2]$

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17、下列命题是真命题的是（）

A、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ B、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$ C、若 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ，则 $a > b$ D、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$

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18、命题“ $\forall x \in R$ ， $|x| + 1 \geq 1$ ”的否定形式为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $|x| + 1 \leq 1$ B、 $\exists x \in R$ ， $|x| + 1 < 1$ C、 $\forall x \in R$ ， $|x| + 1 \leq 1$ D、 $\forall x \in R$ ， $|x| + 1 < 1$

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19、已知 $A = \{y | y = x^{2}\}$ ， $B = \{x |y = \frac{2}{x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(- \infty, + \infty)$

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20、中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间/分钟
0
1
2
3
4
5
水温/℃
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33

(1)、给出下列三种函数模型：① $y = a t + b (a < 0)$ ， ② $y = a \cdot b^{t} + d (a > 0, 0 < b < 1)$ ， ③ $y = \log_{a} (t + b) + c (b > 0, a > 1)$ ，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式．

(2)、根据（1）中所求模型，
（ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间．
（参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7）

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时间/分钟	0	1	2	3	4	5
水温/℃	95.00	88.00	81.70	76.03	70.93	66.33