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相关试卷

1、古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $E (\sqrt{2} ， 0), F (2 \sqrt{2}, 0)$ ，则满足 $| P F | = \sqrt{2} | P E |$ 的动点P的轨迹记为圆 $D$ .

(1)、求圆 $D$ 的方程；

(2)、已知 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 2, 6)$ ， $C (4, - 2)$ 三点，点 $P$ 在圆 $D$ 上运动，求 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值与最小值之差.

(3)、直线 $y = k (x + 1)$ 与圆 $D$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $k_{M Q} + k_{N Q} = 0$ ？若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，说明理由；

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2、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 与 $A B E F$ 均为直角梯形， $A D // B C$ ， $A F // B E$ ， $D A ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $A B ⊥ A F$ ， $A D = A B = 2 B C = 2 B E = 2$ .

(1)、已知点G为 $A F$ 上一点， $A G = A D$ ，求证： $B G$ 与平面 $D C E$ 不平行；

(2)、已知点F到平面 $D C E$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $F D E$ 与平面 $C D E$ 的夹角的余弦值.

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3、空间直角坐标系中，分别以 $\vec{a} = (3, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3, 1)$ 为邻边作一个平行四边形.

(1)、分别求这个平行四边形两条对角线的长；

(2)、求这个平行四边形的面积.

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4、已知点 $P (- 2, - 3)$ 和以点Q为圆心的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ ．以 $P Q$ 为直径的圆的圆心为点 $Q^{'}$ ，设圆Q与圆 $Q^{'}$ 相交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 左边），则直线PA，PB的方程分别为，．

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5、如图，在四面体ABCD中， $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ，若 $A B = 3$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ， $A C = \sqrt{19}$ ，则平面ABD与平面CBD的夹角为．

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6、已知直线 $l : m x + y - 1 - 2 m = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 恒有两个不同的公共点 $A, B$ ，则下列叙述正确的有（）

A、直线 $l$ 过定点 $(2, 1)$ B、半径 $r$ 的取值范围是 $(0, \sqrt{5}]$ C、当 $r = 4$ 时，线段 $A B$ 长的最小值为 $2 \sqrt{11}$ D、当 $r = 4$ 时，圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离为2的点恰好有三个，则 $m = \frac{3}{4}$

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7、如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口 $B A C$ 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 上，片门位于另一个焦点 $F_{2}$ 上．由椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_{2}$ ．已知 $B F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $|F_{1} B| = \frac{5}{3}$ ， $|F_{1} F_{2}| = 4$ ．若透明窗 $D E$ 所在的直线与截口 $B A C$ 所在的椭圆交于一点 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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8、由曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 y$ 围成的图形的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $2 π + 3$ D、 $3 π + 2$

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9、如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且 $|A B| = 2$ ， P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（）

A、圆 B、射线 C、长轴为4的椭圆 D、长轴为2的椭圆

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10、四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O P} = 2 \vec{P A}$ ， $\vec{B Q} = \vec{Q C}$ ，则 $\vec{P Q}$ 等于（）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，记其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = a_{5}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + \frac{1}{4}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、将数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 的所有项从小到大排列得到数列 $\{b_{n}\}$ ．
①求 $\{b_{n}\}$ 的前20项和；
②证明： $\frac{1}{b_{1}^{2}} + \frac{1}{b_{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{b_{n}^{2}} < 32$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x$ 的图象关于直线 $x = x_{0}$ 对称，则 $\tan 2 x_{0} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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13、在正项数列 $\{a_{n}\}$ 中，设甲： $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，乙： $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x - 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，则 $a =$ （）

A、－3 B、－1 C、0 D、1

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15、第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（）

A、134.75 B、144.75 C、154.75 D、159.50

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16、复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = i$ ，则在复平面内， $z$ 对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知函数 $f (x) = ln (x + 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域，并判断函数 $f (x)$ 的单调性；（单调性不要求证明）

(2)、如果 $f (3 m) < f (m + 2)$ ，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若不等式 $f (2^{x^{2} - n x + 1}) > f (1)$ 恒成立，求实数 $n$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = x - \frac{a}{x}$ ，且 $f (2) = \frac{3}{2}$ .

(1)、求 $a$ 的值.

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并证明.

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19、计算：

(1)、 $3^{2} \times 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{- 3}$ ；

(2)、已知 $2^{a} = 3, 2^{b} = 18$ ，求 $2 a - b$ 的值.

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20、已知 $x \in R,$ 则不等式 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 的解集为．

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