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相关试卷

1、定义在 $R$ 上的非常数函数 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ ，若对任意的 $x$ ， $y$ ，均有 $f (x + y) \cdot f (x - y) = g^{2} (x) - g^{2} (y)$ ，则称 $y = g (x)$ 为 $y = f (x)$ 的拆解函数.

(1)、若 $f (x) = 2 x$ ，请写出 $f (x)$ 的一个拆解函数.

(2)、若 $f (x)$ 有拆解函数，证明： $f (x)$ 是奇函数.

(3)、若 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的拆解函数且满足 $g (2) = g (0)$ ，证明： $f (x + 4) = f (x)$ .

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 3) x + a, & x \leq 0 \\ - x^{2} - (a - 2) x + a, & x > 0 \end{array}$

(1)、若 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、当 $a = - 1$ 时，实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$
①画出此时 $f (x)$ 的函数图象并证明： $\frac{1}{x_{2}} + \frac{4}{x_{3}} \geq 3$ .
②求 $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}$ 的取值范围.

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3、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x - \frac{1}{x + 2} + 1$ ，已知 $f (a) = - 1$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式和常数 $a$ 的值.

(2)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x^{2} - x + 1) + f (m x) > 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$

(1)、用定义法证明： $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 单调递增.

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) - m x + 12 \geq 0$ 在 $[- 3, - \frac{1}{2}]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围.

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5、已知全集为实数集 $R$ ，集合 $A = \{x |- 5 < x < 1\}$ ， $B = \{x |2 m - 3 \leq x \leq m + 1\}$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求 $m$ 的取值范围.

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6、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 在单调区间 $[m, n]$ 上的值域是 $[m, n]$ ，当 $a \in [- 3, - 2] \cup [3, 4]$ 时， $n - m$ 的最大值是

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7、若 $b$ ， $c$ 为实数，关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 解集为 $(- 3, 2)$ ，那么不等式 $c x^{2} + b x + 1 < 0$ 的解集是

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8、不等式 $\frac{2}{x - 1} > 3$ 的解集为

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9、对于一个数集 $E$ ，定义函数 $f_{E} (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in E \\ 0, x \notin E \end{array}$ .现设数集 $U$ 是全集， $A$ ， $B$ 是 $U$ 的子集，对任意 $x \in U$ ，下列命题正确的是（）

A、如果 $A \cap B = \emptyset$ ，那么 $f_{A} (x) + f_{B} (x) \leq 1$ B、如果 $A = A \cap B$ ，那么 $f_{A} (x) - f_{B} (x) \leq 0$ C、如果 $C = A \cup B$ ，那么 $f_{C} (x) = f_{A} (x) + f_{B} (x)$ D、如果 $C = A \cap B$ ，那么 $f_{C} (x) = f_{A} (x) \cdot f_{B} (x)$

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10、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $c \neq 0$ ，以下叙述正确的是（）

A、若 $a > b$ ，那么 $a c^{2} > b c^{2}$ . B、若 $a > b > c$ ，那么 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ . C、若 $a > b > 0$ ，那么 $\frac{a}{b} < \frac{a + c^{2}}{b + c^{2}}$ D、若 $a > b > 0$ ，那么 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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11、以下命题正确的是（）

A、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与函数 $g (x) = |x|$ 是相同的函数. B、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 是定义域上的单调递减函数. C、函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ 的定义域和值域相等. D、如果函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 1]$ ，那么函数 $f (x + 1)$ 的定义域是 $[- 1, 2]$ .

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ ， $g (x) = 2 - |x|$ ，对任意的 $x \in R$ ， $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中较小者，那么 $m (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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13、函数 $f (x)$ 是奇函数， $F (x) = f (x) + x^{2} + 1$ ，已知 $F (2) = 3$ ，则 $F (- 2)$ 的值为（）

A、－6 B、－3 C、5 D、7

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14、已知 $f (x)$ 是偶函数且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，若 $f (5) = 0$ ，那么 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 5, 0) \cup (5, + \infty)$ B、 $(- 5, 0) \cup (0, 5)$ C、 $(- \infty, - 5) \cup (5, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

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15、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = 1$ ，那么 $a b$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、1

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16、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m}$ 在定义域上单调递增，那么（）

A、 $m = 1$ B、 $m = 3$ C、 $m = - 3$ D、 $m = - 1$

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17、命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ ”的否定形式为（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ B、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$

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18、已知集合 $A = \{1, 2, 5, 8\}$ ， $B = \{0, 2, 4, 5\}$ ，那么 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 4, 5, 8\}$ B、 $\{2, 5\}$ C、 $\{0, 1, 2, 4, 5, 8\}$ D、 $\{1, 5, 8\}$

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19、设 $θ \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，若 $tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{5}{2}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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20、已知直线 $l_{1} : 2 x - m y - 2 = 0$ 与 $l_{2} : (m - 1) x - 3 y + 3 = 0$ 平行，则m的值为（）

A、 $- 2$ B、3 C、2 D、 $- 2$ 或3

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