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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a x^{3}}{12}$ ，其中常数 $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 4$ ，设 $g (x) = f (x) + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x + 1$ ，求证：函数 $g (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上有两个极值点.

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3、已知过点 $P (3, \sqrt{2})$ 的双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ .如图所示，过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$ 作与坐标轴都不垂直的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于 $A, B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若双曲线 $C$ 上的点 $Q (x_{0}, y_{0})$ 到其两条渐近线的距离分别为 $d_{1}, d_{2}$ ，求 $d_{1} d_{2}$ 的值；

(3)、已知点 $Q (\frac{3}{2}, 0)$ ，求证： $∠ A Q F = ∠ B Q F$ .

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 上，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ A D C = 90^{0}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Q$ 为 $A D$ 的中点， $M$ 是棱 $P C$ 上的点， $P A = P D = 2$ ， $B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $M Q B ⊥$ 平面 $P A D$

(2)、若二面角 $M - B Q - C$ 大小为 $30^{0}$ ，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值

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5、 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $a, b, c$ 成等比数列，且 $\cos B = \frac{3}{4}$ ．
（I）求 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B}$ 的值；
（II）设 $\overset{⃑}{B A} \cdot \overset{⃑}{B C} = \frac{3}{2}$ ，求 $a + c$ 的值．

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6、如图所示，二面角 $α - l - β$ 为 $60^{\circ}$ ， $A, B$ 是棱 $l$ 上的两点， $A C, B D$ 分别在半平面内 $α, β$ ，且 $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则 $C D$ 的长．

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7、已知 $a > 1$ 且 $a^{{log}_{3} a} = 81$ ，则 $a =$ .

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8、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = b^{n} (b > 0)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、当 $b = 1$ 时， $S_{99} = 51$ B、当 $b > 1$ 时，数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、 $a_{3} > 0$ D、对任意 $b > 0$ ，存在 $λ \in R$ ，使得数列 $\{a_{n} - λ b^{n}\}$ 成等比数列

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9、下列说法正确的有（）

A、数据 $29, 30, 39, 25, 37, 41, 42, 32$ 的第75百分位数是40 B、若 $ξ \sim N (25, 4)$ ，则 $P (20 \leq ξ \leq 25) + P (ξ \geq 30) = \frac{1}{2}$ C、4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为 $C_{4}^{3}$ 种 D、 ${(1 - x)}^{8}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的二项式系数为56

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10、已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线， $A$ 为其中一个切点，则 $|P A|$ 的取值范围为

A、 $[1, \sqrt{11}]$ B、 $[\sqrt{6}, 2 \sqrt{6}]$ C、 $[\sqrt{6}, \sqrt{22}]$ D、 $[\sqrt{2}, \sqrt{11}]$

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11、已知 $\sin (130 ° + α) = 2 \cos 20 ° \cos α$ ，则 $\tan (α + 45 °) =$ （）

A、 $- 2 + \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $- 2 - \sqrt{3}$

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12、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ，若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - \frac{1}{2}$ ，则 $∠ A$ 的最大值是 $($ $)$

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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13、两枚骰子，设出现的点数之和分别为9，10，11的概率分别为p₁ ， p₂ ， p₃ ，则（）

A、p₁＜p₂＝p₃ B、p₁＞p₂＞p₃ C、p₁＝p₂＞p₃ D、p₁＞p₂＝p₃

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14、已知非常数函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) f (x) = 1$ $(x \in R)$ ，则下列函数中，不是奇函数的为（）

A、 $\frac{f (x) - 1}{f (x) + 1}$ B、 $\frac{f (x) + 1}{f (x) - 1}$ C、 $f (x) - \frac{1}{f (x)}$ D、 $f (x) + \frac{1}{f (x)}$

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15、已知 $i$ 是虚数单位，则 $(3 - 2 i) (- 2 - i) + 8 i^{4} =$ （）

A、 $4 + i$ B、 $- 16 + i$ C、 $i$ D、 $- i$

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16、集合A={3，4}，B={x| $2^{\sqrt{x - 1}} ＜ 4$ ， x∈N}则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2, 3)$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $(3, 4)$ D、 $\{3, 4\}$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{n} = S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{\log_{2} a_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求证：数列 $\{c_{n}\}$ 中任意不同的三项都不能构成等差数列.

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18、已知函数 $f (x) = (x + 1 - a) e^{x} + x + a - 1, a \in R$ ，函数 $g (x) = (x - 2) e^{x} + 1$ ．

(1)、求 $g (x)$ 的最小值；

(2)、若 $a > 3$ ．
①求 $f (x)$ 零点的个数；
②证明： $f (x)$ 的所有零点之和为定值．

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19、以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题.

(1)、设 $X$ 表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量 $X$ 的分布列和方差；

(2)、假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为 $\frac{1}{2}$ .若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率.

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20、为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表：
编号
1
2
3
4
5
x
10
20
30
40
50
y
70
80
100
120
130

(1)、若该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于x的回归直线方程．（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 16600$ ）

(2)、基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了160位学生．按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下2×2列联表：

成绩没有进步
成绩有进步
合计
参与课后自主学习
5
135
140
未参与课后自主学习
5
15
20
合计
10
150
160
依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关．
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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	成绩没有进步	成绩有进步	合计
参与课后自主学习	5	135	140
未参与课后自主学习	5	15	20
合计	10	150	160

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

编号	1	2	3	4	5
x	10	20	30	40	50
y	70	80	100	120	130