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相关试卷

1、某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；

(2)、在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算）

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2、已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{π}{12}, \sin \frac{π}{12})$ ， $\vec{b} = (\sin α, \cos α)$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求 $\tan α$ ；

(2)、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，
①求 $\sin (α + \frac{π}{12})$ ；
②已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\cos 2 α$ .

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3、已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{3 b - c}{4 b}}$ ，则 $\frac{2 a}{b}$ 的取值范围是.

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $|\vec{c}| =$ .

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5、如图，四边形ABCD是边长为2a的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将 $△ A B E$ ， $△ E C F$ ， $△ F D A$ 分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（）

A、AP⊥EF B、点P在平面AEF内的射影为 $△ A E F$ 的外心 C、二面角 $A - E F - P$ 的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、四面体 $P - A E F$ 的外接球的体积为 $\sqrt{6} π a^{3}$

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6、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ B、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ C、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{A B} | = 2$ .设 $C (3, 4)$ ，则 $| 2 \vec{C A} + \vec{A B} |$ 的取值范围是（）

A、 $[6, 14]$ B、 $[6, 12]$ C、 $[8, 14]$ D、 $[8, 12]$

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8、设 $P, A, B, C$ 是球 $O$ 表面上的四个点， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $P A = 5$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{50}{3} π$ B、 $50 π$ C、 $75 π$ D、 $200 π$

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点E，F，且 $E F = \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $A - B E F$ 的体积是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，用基底 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ 表示 $\vec{c}$ ，则（　　）

A、 $\vec{c} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ B、 $\vec{c} = - 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ C、 $\vec{c} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ D、 $\vec{c} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b}$

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11、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（）

A、A与B互斥 B、B与C互为对立 C、A与B相互独立 D、A与C相互独立

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12、已知i为虚数单位，复数z满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - i|$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 的方差为3，则 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， $\cdot \cdot \cdot, 2 x_{10} - 1$ 的方差为（）

A、3 B、5 C、6 D、12

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14、已知函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - a x (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，设 $f (x)$ 的极大值为 $g (a)$ ，求证： $g (a) \geq - \frac{2}{e^{2}}$ ；

(3)、设 $h (x) = ln x - \frac{2}{a} x + 2$ ，若函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 与 $y = h (x)$ 共有4个不同的零点，是否存在实数 $a$ ，使得这4个零点在调整顺序后成为等差数列，若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2, \sqrt{2})$ ，短轴长为 $4$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 位于点 $B$ 的上方），直线 $l : y = k x + 4$ 椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ 、 $N$ .设直线 $A N$ 与直线 $B M$ 相交于点 $G$ ，求 $|G A| + |G P|$ 的最小值.

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16、魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.

(1)、小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，小吴每局比赛获胜的概率均为 $\frac{2}{5}$ ，若采用三局两胜制，两人共进行了 $X$ 局比赛，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，若负，则他下一局比赛获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内一点， $∠ B P C = 90 °$ ．

(1)、若 $B P = \sqrt{3}$ ，求 $A P$ 的长；

(2)、若 $∠ B P A = 120 °$ ，求 $\tan ∠ A B P$ ．

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18、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $B C = D C = 1$ ， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，使得点 $A$ 到点 $P$ 的位置，使 $∠ P E B = 90^{\circ}$ ， $N$ ， $F$ 分别是棱 $B C$ ， $P B$ 的中点.

(1)、证明： $E F ⊥ B C$ ；

(2)、求平面 $E F N$ 和平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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19、已知 $F_{1}$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点，过点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与双曲线左支交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $D$ 是双曲线上点 $B$ 关于原点的对称点.若以 $A D$ 为直径的圆过点 $F_{1}$ ，且 $|D F_{1}| = |A F_{1}|$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为.

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20、已知 $sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $cos (θ + \frac{2 π}{3}) =$ .

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