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相关试卷

1、若直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为．

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2、如图，在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C_{1} Q} = λ \vec{C_{1} B_{1}} + μ \vec{C_{1} C} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ B、若 $D_{1} Q //$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则四面体 $D P Q A_{1}$ 的体积为定值 D、平面 $A_{1} P D$ 截正方体的截面面积为 $18$

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3、下列命题正确的是（）

A、数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 B、数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 C、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的标准差为1，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots \dots$ ， $2 x_{10} + 1$ 的标准差为2 D、若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数

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4、已知过点 $A (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $m : x + 3 y + 6 = 0$ ．

(1)、当 $| P Q | = 2 \sqrt{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设 $T$ 为直线 $m$ 上的动点，过 $T$ 作圆 $C$ 的两条切线 $T G$ 、 $T H$ ，切点分别为 $G$ 、 $H$ ，求四边形 $T G C H$ 面积的最小值；

(3)、是否存在直线 $l$ ，使得向量 $\vec{O P} + \vec{O Q}$ 与 $\vec{A C}$ 共线？如果存在，求出直线 $l$ 的方程；如果不存在，请说明理由．

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5、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$

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6、若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则满足 $(m - 1) f (m - 2) \leq 0$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [1, 4]$ C、 $[- 1, 0] \cup [2, 5]$ D、 $[- 1, 5]$

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7、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 $2 π$ ，则圆锥母线与底面所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8、已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、在一次招聘面试中，小明要依次回答甲､乙､丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为 $0.9, 0.5, 0.4$ ，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为.

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10、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 5$ ，若 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq 2 m + 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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11、若函数 $f (x) = x |x - a| (0 \leq x \leq 2)$ 的最大值是1，则实数a的值是．

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12、已知函数 $f (x) = ln x - a x$ ， $g (x) = ln x + (a - 2) x$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 存在2个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $h (x) = |f (x)| + |g (x)|$ ，
①当 $a = 1$ 时，求 $h (x)$ 的最小值；
②若 $h (x)$ 的最小值为2，求 $a$ 的取值范围．

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13、已知函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，且 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调，若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{8}{b}$ 的最小值是（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、8 D、9

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14、已知复数 $z = - 1 + i$ ，则 $z (\bar{z} + 1) =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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15、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 1}{i - 1} = |2 + i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $i$ C、1 D、 $\sqrt{5} i$

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16、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $|S_{n}| = n$ ，则 $|a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{10}|$ 的值不可能为（）

A、96 B、98 C、100 D、102

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b \cos C + c \cos B = 2 b$ ，且 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sin C}$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、求 $tan C$ 的值.

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18、现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期 $T$ 内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为 $p$ ，分裂成两个新细胞的概率为 $1 - p$ ；新细胞在下一个周期 $T$ 内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期 $T$ 内开始分裂，记 $n (n \in N^{*})$ 个周期结束后，细胞的数量为 $X_{n}$ ，其中 $p \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求 $X_{2}$ 的分布列和数学期望；

(2)、求 $P (X_{n} = 2)$ ；

(3)、求证： $P (X_{n} = 3) < \frac{8}{27 p^{2}}$ .

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19、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 30 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 于 $F$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，如图2所示．

(1)、 $A E ⊥$ 平面 $B C D$

(2)、求二面角 $A - D C - B$ 的余弦值；

(3)、在线段 $A F$ 上是否存在点 $M$ 使得 $E M //$ 平面 $A D C$ ?若存在，求 $\frac{A M}{A F}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 5 a_{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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