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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{n (n + 1)}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{4 n}{2 n + 1}$ .

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2、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 7 = 0$ 内一点 $P (- 1, 2)$ ，直线 $l$ 过点 $P$ 且与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、求圆 $C$ 的圆心坐标和面积；

(2)、若直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，求弦 $A B$ 的长．

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3、已知圆 $M$ 过 $O (0, 0)$ ， $A (8, 0)$ ， $B (0, 6)$ 三点，直线l过点 $P (2, 2)$ .

(1)、求圆M的标准方程；

(2)、直线 $l$ 被圆 $M$ 截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线 $l$ 的方程及最短弦长.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ， $\{b_{n}\}$ 是公差为4的等差数列，若 $a_{3} = \frac{13}{9}$ ， $b_{1} = a_{1}$ ，则 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} =$ ．

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5、下列不等式成立的有（）

A、 ${log}_{0.3} 0.2 > {log}_{0.2} 0.3$ B、 ${0.3}^{0.2} > {0.2}^{0.3}$ C、 ${log}_{3} 0.2 < {log}_{2} 0.2$ D、 $3^{0.2} < 2^{0.3}$

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6、若 $a > 0$ ，则在 $(1 + a x) {(1 + \frac{x}{a})}^{5}$ 的展开式中（）

A、x的系数有最小值 B、 $x^{2}$ 的系数有最小值 C、 $x^{4}$ 的系数有最小值 D、 $x^{5}$ 的系数有最小值

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7、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，过点 $A (2, 0)$ 的直线与圆 $O$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，且 $\vec{A B} = \vec{B C}$ ，则 $|B C|$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8、直线 $l : \sqrt{3} x - y = 0$ 被圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 所截得的弦长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9、下列说法正确的是（）

A、 $\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = k$ 表示过点 $P (x_{1}, y_{1})$ 且斜率为 $k$ 的直线方程 B、过 $y$ 轴上一点 $(0, b)$ 的直线方程可以表示为 $y = k x + b$ C、若直线在 $x$ 轴， $y$ 轴的截距分别为 $a$ 、 $b$ ，则该直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ D、方程 $(x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1})$ 表示过两点 $P (x_{1}, y_{1})$ 、 $Q (x_{2}, y_{2})$ 的一条直线

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, 3, 4)$ ， $\vec{b} = (- 5, 2, z)$ ．若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $z =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、4 D、 $- 4$

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11、数列6，66，666，6666，66666，…的一个通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $6 \times 11^{n}$ B、 $6 \times 11^{n - 1}$ C、 $10^{n} - 4$ D、 $\frac{2}{3} (10^{n} - 1)$

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12、下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $y = x - 1$ ， $y = \frac{x^{2}}{x} - 1$ B、 $y = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} + 1}$ ， $y = x^{2} - 1$ C、 $y = x$ ， $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ ， $y = \sqrt{x^{2} - 1}$

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13、已知函数 $f (x) = m (x - 1) e^{x} - x^{2} + x$ 在 $x \in (\frac{1}{e}, 3)$ 上有两个极值点，则实数m的取值范围是．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a (x - 1)}{x^{2}}$ （ $x > 0$ ， $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = - e$ 时，求证： $x^{2} f (x) \geq e$ ；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq e$ ，求a的取值范围.

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15、已知直线 $y = x + 2$ 与曲线 $y = \ln (x + a)$ 相切，则 $a$ =.

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16、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A C = A D = 2$ ， $∠ B A D = \frac{3 π}{4}$ ，如图2，把 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，使点 $D$ 到达点 $P$ 处，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Q$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ B Q$ ；

(2)、求二面角 $A - B Q - P$ 的余弦值；

(3)、判断线段 $A P$ 上是否存在点 $M$ ，使得三棱锥 $M - A B Q$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ ．若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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17、已知点 $E$ 是棱长都为2的正四棱锥 $P - A B C D$ 的棱 $P C$ 的中点，空间中一点 $M$ 满足 $\vec{B M} = x \vec{P A} + (y - 1) \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ ．当 $| \vec{P M} |$ 最小时，有（）

A、 $△ P M C$ 为钝角三角形 B、 $E M = \sqrt{2}$ C、 $E M$ 与底面 $A B C D$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ D、四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球被二面角 $E - M B - C$ 所夹的几何体的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且C经过点 $(\frac{3}{2}, \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设斜率为 $\frac{b}{a}$ 的直线l与椭圆C交于不同的两点 $M, N$ ，与x轴交于点 $P$ ，证明： ${|M P|}^{2} + {|P N|}^{2}$ 为定值．

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19、某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校 $500$ 名学生中随机抽取 $20$ 名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按 $(20, 25]$ 、 $(25, 30]$ 、 $\dots$ 、 $(40, 45]$ 分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求出 $a$ 的值，并估计全校学生中运动时长超过 $30$ 分钟的人数；

(2)、在上述选取的 $20$ 名学生中任意选取 $2$ 名学生，设 $Y$ 为运动时长超过 $30$ 分钟的人数，求 $Y$ 的分布列与期望 $E (Y)$ ；

(3)、现将运动时长高于 $35$ 分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取 $4$ 名学生，求恰有 $2$ 名学生是“热爱运动者”的概率．

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C, A B = 2 A C = 2 A A_{1}$ ， E，F分别为棱AB，BC的中点．

(1)、证明： $B_{1} E ⊥$ 平面 $A_{1} E F$ ．

(2)、求平面 $A_{1} E F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值．

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