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相关试卷

1、设函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，若 $x_{1} x_{2} < 0$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{12}, + \infty)$ B、 $(\frac{π}{6}, + \infty)$ C、 $(\frac{π}{3}, + \infty)$ D、 $(\frac{π}{2}, + \infty)$

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2、某陶瓷厂上釉车间有 $A ､ B$ 两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检 $A$ 生产线的产品的概率为 $\frac{2}{3}$ ，抽检 $B$ 生产线的产品的概率为 $\frac{1}{3}$ .经过大量数据分析得 $A$ 生产线的次品率为 $12 %$ ，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为 $10 %$ ，据此估计B生产线的次品率为（）

A、 $9 %$ B、 $8.67 %$ C、 $8 %$ D、 $6 %$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 \times 3^{n - 1} + r$ （ $r$ 为常数），则“ $r = - \frac{2}{3}$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 为等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、已知函数 $f (x) = 2 f^{'} (2) x + 3 x^{2} - 2 ln x$ （ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $1$ B、 $- 2$ C、 $11$ D、 $- 11$

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5、已知两个单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $\vec{e_{1}} \cdot (2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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6、已知 $i$ 为虚数单位， $z$ 为复数，则下列命题正确的是（）

A、若 $z^{2} + 1 = 0$ ，则 $z = i$ B、若 $z$ 的实部为0，则 $z$ 是纯虚数 C、若 $z = 2 + i$ ，则 $z$ 的虚部是 $i$ D、若 $z + 2 \bar{z} = 3 - 2 i$ ，则 $|z| = \sqrt{5}$

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7、已知集合 $A = \{x ∣ (x - 1) (x - 3) \leq 0\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 3\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{2, 3\}$

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8、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 与函数 $g (x) = \frac{m x}{2 + x}$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线斜率相同.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、证明：当 $- 1 < x \leq 0$ 时， $f (x) \leq g (x)$ ；

(3)、设 $a$ 为正实数，讨论方程 $\frac{1}{2} g (x) - a f (x) = 0$ 的解的个数.

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9、甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；

(2)、如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x}, - 1 \leq x < 0 \\ x^{2} - 2 x, 0 \leq x \leq 3 \\ - 2 x + 9, 3 < x \leq 4 \end{cases}$

(1)、求 $f (3)$ ， $f (4)$ ， $f (f (1))$ 的值；

(2)、 $f (a) = 1$ ，求a的值；

(3)、请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数 $f (x)$ 的值域（无需写出理由）.

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11、2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，该班级所有同学均参加活动，且男女同学人数比为 $2 : 1$ ，每位同学选择一项活动参加.统计数据如下表：

长跑
短跑
男同学
a
10
女同学
10
10

(1)、求 $α$ 的值并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别相关；

(2)、赛后校记者团对参加长跑比赛的同学按性别采用分层随机抽样的方法抽取8名同学，再从这8名同学中抽取2名同学接受采访，记随机变量X表示抽到的2人中女生的人数，求X的布列与数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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12、已知 ${(\sqrt{x} - \frac{3}{x})}^{n}$ 的展开式中共有10项.

(1)、求展开式中各项系数之和；

(2)、求展开式中的常数项，并确定有理项有多少项.

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (3 x + 3)$ 为奇函数，记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，若 $f^{'} (3) = 1$ ，则 $y = f (x)$ 在点 $(- 9, f (- 9))$ 处的切线一般式方程为.

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14、已知函数 $f (x) = \ln (- x^{2} + 5 x + 6)$ ，则 $f (x)$ 的定义域是；单调增区间为.

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15、甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为 $r_{1} = - 0.96$ ， $r_{2} = 0.67$ ， $r_{3} = 0.92$ ， $r_{4} = 0.89$ ，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高.

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16、若函数 $f (x) = a \ln x - 2 x^{2} + b x$ 既有极小值又有极大值，则（）

A、 $\frac{b}{a} < 0$ B、 $b > 0$ C、 $b^{2} + 16 a > 0$ D、 $|a - b| < 4$

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17、已知随机变是 $X$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，定义函数 $f (x)$ 为 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率，即 $f (x) = P (X \leq x)$ ，若 $x \geq 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (0) = \frac{1}{2}$ B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 D、 $P (|X| \leq x) = 2 f (x) - 1$

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18、下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$ B、 $y = |\sin x| + \frac{4}{|\sin x|}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

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19、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数a，b，若它们除以正整数 $m$ 所得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (\mod m)$ .若 $a = C_{17}^{0} + C_{17}^{1} \times 6 + C_{17}^{2} \times 6^{2} +$ $\dots + C_{17}^{17} \times 6^{17}$ ， $a \equiv b (\mod 8)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、2021 B、2022 C、2023 D、2024

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20、已知 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 的函数图象如图所示，则不等式 $x f^{'} (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (1, 2)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1) \cup (2, + \infty)$

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	长跑	短跑
男同学	a	10
女同学	10	10

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828