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相关试卷

1、一个宿舍的四名同学甲､乙､丙､丁受邀参加一个晚会且必须有人去，其中甲､乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍不同的参加晚会的方案共有（）

A、4 B、7 C、10 D、12

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2、“ $\frac{1}{x} < 1$ ”是“ $x > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为 $\frac{π}{4}$ ，即 $∠ P A Q = \frac{π}{4}$ ，其中P，Q分别在边 $B C$ ， $C D$ 上，记 $∠ B A P = θ (0 \leq θ \leq \frac{π}{4})$ .

(1)、设 $A C$ 与 $P Q$ 相交于点R，当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，
（ⅰ）求线段 $D Q$ 的长；
（ⅱ）求线段 $A R$ 的长；

(2)、为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形 $A P C Q$ 的面积记为S）最大， $θ$ 应取何值？S的最大值为多少？

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4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = 1$ ， $P A = \sqrt{5}$ ， $P D ⊥ C D$ ， $P B ⊥ B D$ ，点N在棱PC上，平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P A / /$ 平面 $B D N$ ，求三棱锥 $N - P A D$ 的体积；

(3)、若二面角 $N - B D - C$ 的平面角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $\frac{P N}{N C}$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $b^{2} = a c$ ， $\sin (B - A) + \sin C = 2 \sin A$ .

(1)、求证： $\sin B = \tan A$ ；

(2)、求 $\cos B$ 的值.

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6、已知函数 $f (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + f (- x)$ ，若 $g (x)$ 存在最小值 $- 11$ ，求实数a的值．

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7、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + λ \vec{b} (λ \in R)$ 垂直，求 $λ$ 的值.

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8、已知三棱锥 $S - A B C$ 的四个顶点在球O的球面上， $S A = S B = S C$ ， $△ A B C$ 是边长为6的正三角形，E为SA的中点，直线CE，SB所成角为90°，则球O的表面积为．

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9、如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为m．

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10、函数 $y = \log_{a} (x - 1) + 8$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点A，且点A在幂函数 $f (x)$ 的图象上，则 $f (x) =$ .

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11、如图1，在等腰梯形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $D A = A B = B C = \frac{1}{2} C D$ ， E为CD中点，将 $△ D A E$ 沿AE折起，使D点到达P的位置（点P不在平面ABCE内），连接PB，PC（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、 $B C //$ 平面PAE B、 $P B ⊥ A E$ C、存在某个位置，使 $P C ⊥$ 平面PAE D、PB与平面ABCE所成角的取值范围为 $(0, \frac{π}{2})$

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12、某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则（）

A、直方图中x的值为0.030 B、估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分 C、估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分 D、估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分

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13、为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）

A、 $\frac{2 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} {cm}^{3}$ B、 $\frac{4 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} {cm}^{3}$ C、 $2 (5 + 3 \sqrt{3}) {πcm}^{3}$ D、 $\frac{8 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} {cm}^{3}$

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14、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N，P，Q分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} A$ ， AB， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、PN与QM为异面直线 B、 $A_{1} B$ 与MN所成的角为 $45 °$ C、平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D、点 $C_{1}$ ， $D_{1}$ 到平面PMN的距离相等

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15、在 $△ A B C$ 中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{B C}$ B、 $- \frac{5}{6} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{B C}$ D、 $\vec{B A} - \frac{1}{6} \vec{B C}$

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16、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = \sqrt{5}$ ，则在原平面图形 $△ A B C$ 中AC的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{33}}{2}$

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17、已知圆锥的侧面积为 $12 π$ ，它的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则此圆锥的体积为（）

A、 $6 \sqrt{2} π$ B、 $\frac{16 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $6 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(4, 0)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(- 4, 8)$ D、 $(4, - 8)$

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19、数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位数为（）

A、7 B、7.5 C、8 D、8.5

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20、已知复数z满足 $z (1 - i) = 1$ ，则z的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2} i$ D、-i

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