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相关试卷

1、某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（　　）

A、被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为 $\frac{10}{63}$ B、被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为 $\frac{10}{63}$ C、如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法 D、如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法

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2、定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A、 $f (- 2)$ 是 $f (x)$ 的极小值， $f (1)$ 是 $f (x)$ 的极大值 B、 $f (- 1)$ 是 $f (x)$ 的极大值， $f (1)$ 是 $f (x)$ 的极小值 C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 2)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递减

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3、把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（）

A、0.59 B、0.41 C、0.48 D、0.64

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4、近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用 $x = 1, 2, 3, 4, 5$ 表示年份）接待的游客人数 $y$ （十万人）的数据如下表：
$x$
1
2
3
4
5
$y$
12
15
19
24
30
由此得到 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程为 $y = b x + 4.4$ ，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（　　）十万人

A、36.5 B、37 C、35.2 D、35.6

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5、椭圆 $M$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且与长轴垂直的直线交椭圆 $M$ 于 $A$ ， $B$ 两点．若 $△ A B F_{2}$ 为等边三角形，则椭圆 $M$ 的离心率为（　　）．

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 2 x$ ，若 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递减．则实数 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $a > \frac{1}{2}$ B、 $a \geq \frac{5}{2}$ C、 $a > \frac{5}{2}$ D、 $a \geq \frac{1}{2}$

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7、 ${(a - 2 b)}^{6}$ 的展开式中 $a^{4} b^{2}$ 的系数为（　　）．

A、60 B、120 C、15 D、30

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8、已知随机变量 $X$ 的分布列为：
$X$
1
2
3
4
5
$P$
0.1
0.3
$a$
0.1
0.1
则 $E (X) =$ （　　）．

A、0.4 B、1.2 C、1.6 D、2.8

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9、某校高二级学生参加某次考试，其数学成绩 $X \sim N (100, a^{2}) (a > 0)$ ，试卷满分150分，统计结果显示 $P (X \leq 90) = \frac{1}{10}$ ，则 $P (100 < X < 110) =$ （　　）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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10、函数 $f (x) = x e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为（　　）

A、 $1$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $4 e$

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11、已知新同学小王每天中午会在自己学校提供A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复.

(1)、求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率；

(2)、求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率 $P_{i}$ ；

(3)、已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，
且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}, i = 1, 2 ， \dots ， n$ ，则 $E （ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} ） = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ .记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求 $E (Y)$ .

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12、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} - 1, a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 无零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x \in [1, + \infty)$ ，使得 $f (x) \geq x - a \ln x - 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + \frac{a_{3}}{3^{3}} + \dots + \frac{a_{n}}{3^{n}} = n^{2}$ ，在数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 0$ ，且对任意正整数 $n$ 都有 $b_{n + 1} - b_{n} = 4 n - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $C_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${C_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x + 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点；

(2)、当 $0 \leq a \leq 2$ 时，是否存在实数a，使得 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由.

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15、2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X.

(1)、求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种?

(2)、求X的分布列及均值.

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16、若存在非负实数 $a ， b$ 满足 $e^{a + 4 b} \leq 4 e \sqrt{a b}$ （e为自然对数的底数），则 $\frac{a}{b}$ 的值为.

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17、已知随机变量 $X$ 的分布列如表：
$X$
$- 1$
1
2
$P$
$m$
$\frac{1}{3}$
$n$
若 $E (X) = 0$ ，则 $σ (3 X - 1) =$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{4} (3 - cos [(n + 1) π]) a_{n} - {(- 1)}^{n} n {(\sqrt{2})}^{1 + cos(n π)}$ ，下列结论正确的（）

A、 $a_{3} = - \frac{5}{2}$ B、数列 $\{a_{2 n} - 2\}$ 是等比数列 C、 $a_{2 n + 1} = 2 - 4 n - {(\frac{1}{2})}^{n}$ D、 $S_{100} < S_{102}$

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19、已知 $\bar{A}$ 、 $\bar{B}$ 分别为随机事件 $A$ 、 $B$ 的对立事件， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $P (\bar{B} | \bar{A}) = P (B | A)$ B、 $P (B | A) + P (\bar{B} | A) = P (A)$ C、若 $P (B | A) = P (B)$ ，则 $P (A | B) = P (A)$ D、 $P (A B) \leq P (B | A)$

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20、庚续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于 $m$ 分为优秀，若征文得分 $X$ （单位：分）近似服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ ，且及格率为 $80 %$ ，则下列说法正确的是（）

A、随机取1篇征文，则评分在 $[60, 90)$ 内的概率为 $0.6$ B、已知优秀率为 $20 %$ ，则 $m = 90$ C、 $σ$ 越大， $P (X \geq 75)$ 的值越小. D、 $σ$ 越小，评分在 $(70, 80)$ 的概率越大

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$x$	1	2	3	4	5
$y$	12	15	19	24	30

$X$	1	2	3	4	5
$P$	0.1	0.3	$a$	0.1	0.1

$X$	$- 1$	1	2
$P$	$m$	$\frac{1}{3}$	$n$