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相关试卷

1、设等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{3} = 2$ ， $b_{7} = 6$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 36$ B、36 C、 $- 18$ D、18

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2、若圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 = 0 (a \geq 0)$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 b y + b^{2} - 4 = 0 (b \geq 0)$ 外切，则 $\sqrt{{(a + 3)}^{2} + {(b + 4)}^{2}}$ 的取值范围是（）

A、 $[4, 64]$ B、 $[2, 8]$ C、 $[52, 64]$ D、 $[2 \sqrt{13}, 8]$

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3、甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A、若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B、若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C、若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D、如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $2 a = 2 c \cos B + b$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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5、如图所示， $△ A B C$ 中，点D是线段 $B C$ 的中点，E是线段 $A D$ 的靠近A的三等分点，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{5}{3} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{B C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

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6、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数，则（）

A、 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ B、 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、 $z_{1} + z_{2} \in R$ D、 $z_{1} z_{2} \in R$

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + μ \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $λ + μ = - 1$ C、 $λ μ = 1$ D、 $λ μ = - 1$

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8、设复数 $z = \frac{3 - i}{1 + i}$ ，则下列命题结论正确的是（）

A、 $z$ 的实部为1 B、复数 $z$ 的虚部是2 C、复数 $z$ 的模为 $\sqrt{5}$ D、在复平面内，复数 $z$ 对应的点在第四象限

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9、设函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 5 - 2 x$ ；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为 $T$ ，正数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} + 2 b = T$ ，证明： $a + b \leq 2 \sqrt{2} - 1$ ．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{a}}$ ，其中 $x > 0$ ， $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $\frac{f (x)}{e} = x - a \ln x$ 恰有两个不相等的实数根，求 $a$ 的取值范围．

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11、如图，在四棱锥 $C - A B D E$ 中， $D E ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D = 4$ ， $D E = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $B C ⊥ C D$ ，且直线 $B C$ 与 $A E$ 所成角为 $30 °$ ，求点E到平面 $A B C$ 的距离．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为2的等比数列，公比 $q > 0$ ，且 $a_{4}$ 是 $6 a_{2}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前2023项和 $T_{2023}$ ．

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13、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $A = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.从① $a = 2 \sqrt{3}$ ；② $b = 2$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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14、2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如下：

有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
60
80
140
感染支原体肺炎
40
20
60
合计
100
100
200

(1)、是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？

(2)、现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出2人作为医学研究对象并免费治疗，求2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率．
附表：
$P (K^{2} ⩾ k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）

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15、《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为.

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16、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若 $A_{1} B_{1} = 2, A B = 4$ ，则该四棱台的高是.

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17、已知实数 $x, y$ 满足 $\{\begin{matrix} y \leq 4 - x \\ y + 2 \geq 0 \\ y \leq x + 2 \end{matrix}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最大值为．

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18、已知函数 $f (x) = (a - 1) x^{2} + a sin x$ 为偶函数，则实数 $a =$ .

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19、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $A B_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60 °$ B、 $D B_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60 °$ C、 $A B_{1}$ 与 $A_{1} D$ 所成的角为 $45 °$ D、 $D B_{1}$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成的角为 $45 °$

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20、函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(0, - \frac{1}{2})$ ，将该函数的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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	有慢性疾病	没有慢性疾病	合计
未感染支原体肺炎	60	80	140
感染支原体肺炎	40	20	60
合计	100	100	200

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828