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相关试卷

1、某海警船在 $A$ 处看灯塔 $B$ 在它的北偏东 $75 °$ ，距离为 $3 \sqrt{6} n mile$ ，在 $A$ 处看灯塔 $C$ 在海警船的北偏西 $30 °$ ，距离为 $2 \sqrt{3} n mile$ ，海警船由 $A$ 处向正北航行到 $D$ 处时，再看灯塔 $B$ 在南偏东 $60 °$ ，则灯塔 $C$ 与 $D$ 处之间的距离为 $n mile$ ．

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2、若复数 $z = (m^{2} - 3 m) + (m^{2} - 5 m + 6) i$ 是纯虚数，则 $| z | =$ ．

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3、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N，P分别是线段 $C_{1} D_{1}$ ， $C_{1} C$ ， $A_{1} A$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $B_{1} N ⊥$ 平面 $A B N$ B、正方体的外接球的表面积为 $12 π$ ，体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、平面 $B M P$ 截正方体所得截面的形状是五边形 D、若底面 $A B C D$ 内的动点 $Q$ （包含边界）满足 $D_{1} Q //$ 平面 $B M N$ ，则 $C Q \in [0, \sqrt{5}]$

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4、在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是线段 $B C$ 上的两个三等分点（ $D$ ， $E$ 两点分别靠近 $B$ ， $C$ 两点），则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{A C} - \vec{A E}$ B、 $\vec{A B} = 2 \vec{A D} - \vec{A E}$ C、若 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 1$ ， $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = \frac{13}{6}$ D、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) ⊥ \vec{B C}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}| = 2$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = \frac{8}{9}$

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5、下列计算正确的是（）

A、 $\sin 75 ° \cos 15 ° + \cos 75 ° \sin 15 ° = 1$ B、 $\sin \frac{π}{8} \cos \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\cos^{2} \frac{π}{8} - \sin^{2} \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sin 45 °}{1 + \cos 45 °} = \tan 22.5 °$

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6、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{3 π}{4}, π)$ 上单调递增

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7、已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ ，且 $A^{'} B^{'} = 1$ ， $O^{'} A^{'} = 2$ ， $O^{'} C^{'} = 4$ ，现将梯形ABCO绕OA旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（）

A、 $14 π$ B、 $25 π$ C、 $28 π$ D、 $42 π$

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8、已知m，n是空间中两条不同的直线， $α, β$ 是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m // n$ B、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n // α$

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9、已知 $\tan α = \frac{4}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11、将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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12、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、平面向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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14、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{A C} = m \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，若B，C，D三点共线，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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15、若函数 $f (x)$ 满足对于任意的 $x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ， $(x - 1) [f (x) - f (\frac{1}{x})] < 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为“反转函数”.已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = f (x) - f (\frac{1}{x})$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 为“反转函数”.

(2)、已知 $g (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .
①求a的取值范围；
②证明： $x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} > 6 a$ .

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16、在二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32．

(1)、求n；

(2)、求第4项的系数；

(3)、求 $(x^{3} + 1) {(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式的常数项．

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17、若函数 $f (x)$ 的定义域为D，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 为单射函数．已知集合 $A = {- 1, - 2, 0, 3, 5}$ ，且 $a \in A$ ， $b \in A$ ，则函数 $g (x) = a x + \frac{b}{x}$ 是单射函数的概率为．

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18、袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为．

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19、已知函数 $f (x)$ 有2个极值点，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \sin x + 3 x$ B、 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ C、 $f (x) = (x^{2} - x) e^{x}$ D、 $f (x) = x \ln x$

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20、若随机变量 $X \sim N (0, 2^{2})$ ， $Y \sim N (0, 3^{2})$ ，则（）

A、 $P (X \leq 0) = 0.5$ B、 $P (X \leq - 2) = P (X \geq 2)$ C、 $P (X \leq - 2) = P (Y \geq 2)$ D、 $P (X \leq - 2) < P (Y \geq 2)$

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