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1、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = B B_{1}$ ， $B C_{1} \cap B_{1} C = O$ ， $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(1)、求证： $A B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、若 $∠ B_{1} B C = 60 °$ ，直线 $A B$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $A_{1} - B_{1} C_{1} - A$ 的余弦值.

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2、我们知道，函数 $f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 $f (x)$ 为奇函数，由此可以推广得到：函数 $f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数 $f (x) = \frac{n}{2^{x} + m}$ 的图象关于点 $P (0, - \frac{1}{2})$ 成中心对称，则 $m - n =$ .

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3、已知 $f (x) = 2 x \ln x - f^{'} (1) x$ ，则 $f (1) =$ ．

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4、设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $y = 2 + {log}_{a} (x + 2)$ 的图像恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标是．

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5、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 2 a, x < 0 \\ e^{x} - a, x \geq 0 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则实数a的取值范围是 $(- \infty, 0]$ B、若函数 $f (x)$ 有3个零点，则实数a的取值范围是 $(8, + \infty)$ C、设函数 $f (x)$ 的3个零点分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ），则 $x_{1} + x_{2} - \frac{1}{3} x_{3}$ 的取值范围是 $(- \infty, - 8 - \ln 2)$ D、任意实数a，函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 内无最小值

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6、下列各结论中正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $f (2 x + 2)$ 的定义域为 $[- 1, 0]$ B、函数 $y = x - \frac{2}{x}$ 在定义域内是增函数； C、命题“ $\forall x > 1, x^{2} - x > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \leq 1, x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ ”； D、函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{|x|}$ 的值域为 $(0, 1]$ ．

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7、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 $\{x| x < - 6\}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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8、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称， $f (x + 1) + f (x + 2) = 0$ ，且当 $x \in [0, \frac{1}{2}]$ 时， $f (x) = \frac{2 x}{x + 1} + \log_{2} (3 x + 1)$ ．若 $f (m + 1) < - \frac{3}{2}$ ，则实数m的取值范围为（）

A、 $(2 k + \frac{1}{3}, 2 k + \frac{2}{3}) (k \in Z)$ B、 $(k - \frac{1}{3}, k - \frac{1}{6}) (k \in Z)$ C、 $(k - \frac{1}{6}, k + \frac{5}{6}) (k \in Z)$ D、 $(2 k - \frac{5}{6}, 2 k + \frac{2}{3}) (k \in Z)$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} a^{x} + a, x \geq 1 \\ - a x^{2} + 2 a x - a + 3, x < 1 \end{cases}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若函数 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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10、函数 $f (x) = \ln |\frac{2 x - 1}{2 x + 1}|$ 在定义域上的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足 $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{x + y}$ ，当且仅当 $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ 时，等号成立．则函数 $f (x) = \frac{1}{3 x} + \frac{16}{1 - 3 x} (0 < x < \frac{1}{3})$ 的最小值为（）

A、16 B、25 C、36 D、49

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12、已知 $p : x > a, q : x < - 2$ 或 $x > 0$ ，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ B、 $a \leq 0$ C、 $a > 0$ D、 $a \geq 0$

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13、若 $a = {(\frac{2}{5})}^{0.1}$ ， $b = {(\frac{2}{5})}^{0.2}$ ， $c = \log_{\frac{2}{5}} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c<a<b$ D、 $a < c < b$

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14、设集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 4}, B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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15、拟合和插值都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法．拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点，适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为多项式插值．例如，为了得到 $\sin \frac{1}{2}$ 的近似值，我们对函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} x)$ 进行多项式插值．设一次函数 $L (x) = a x + b$ 满足 $\{\begin{cases} L (0) = f (0) = 0 \\ L (1) = f (1) = 1 \end{cases}$ ，可得 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的一次插值多项式 $L (x) = x$ ，由此可计算出 $\sin \frac{1}{2}$ 的“近似值” $\sin \frac{1}{2} = f (\frac{1}{π}) \approx L (\frac{1}{π}) = \frac{1}{π} \approx 0.32$ ，显然这个“近似值”与真实值的误差较大．为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等．满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式．已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} x)$ 在 $[0, 1]$ 上的二次埃尔米特插值多项式 $H (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足 $\{\begin{array}{l} H (0) = f (0) \\ H (1) = f (1) \\ H^{'} (0) = f^{'} (0) \end{array}$ .

(1)、求 $H (x)$ ，并证明当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) \geq H (x)$ ；

(2)、当 $x \in [0, 1]$ 时， $| f (x) - H (x) | \leq λ x^{2}$ ，求 $λ$ 的取值范围；

(3)、利用 $H (x)$ 计算 $\sin \frac{1}{2}$ 的近似值，并证明其误差不超过0.1．（参考数据： $\frac{1}{π} \approx 0.32$ ， $\frac{1}{π^{2}} \approx 0.10$ ．结果精确到0.01）

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16、已知 $a = \log_{5} 10$ ， $b = \log_{2} 10$ ， $c = \log_{0.06} 10$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a + b > 4$ B、 $4^{b - \frac{1}{a}} \geq 64 \sqrt{2}$ C、 $a (b + 1) > 3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $b + c + b c < 0$

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17、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{2} - x_{1}) \cdot [f (x_{2}) - f (x_{1}) + 2 \ln \frac{x_{1}}{x_{2}}] < 0$ ，且 $f (2) = 4 \ln 2$ ．满足不等式 $f (x - 2022) > 2 \ln (2 x - 4044)$ 的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2022)$ B、 $(2022, 2024)$ C、 $[2022, + \infty)$ D、 $[2024, + \infty)$

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18、如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以 $2 {cm}^{3} / s$ 的速度向该容器内注入溶液，随着时间 $t$ （单位： $s$ ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当 $t = π$ 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

A、 $\frac{\sqrt[3]{150}}{3 π} cm / s$ B、 $\frac{\sqrt[3]{300}}{5 π} cm / s$ C、 $\frac{\sqrt[3]{300}}{6 π} cm / s$ D、 $\frac{\sqrt[3]{150}}{2 π} cm / s$

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19、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $\frac{x}{| x | + 1} < 1$ ，命题 $q : \exists x > 0$ ， $x^{3} < x^{2}$ ，则（）

A、p和q都是真命题 B、 $\neg p$ 和q都是真命题 C、p和 $\neg q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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20、已知 $a > b$ ，则（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a^{2} > a b$ C、 $\frac{a + b}{2} > b$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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