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相关试卷

1、函数 $f (x) = \frac{x cos x}{e^{|x| - 1}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2、设函数 $f (x) = 3^{x (x - a)}$ 在区间 $(0, \frac{3}{2})$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $[- 3, 0)$ C、 $(0, 1]$ D、 $[3, + \infty)$

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3、已知命题 $p : \forall x > 1, |x| > 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x > 1, |x| \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1, |x| \leq 1$ C、 $\forall x > 1, |x| < 1$ D、 $\forall x \leq 1, |x| > 1$

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4、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{2 x - x^{2}}\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x} + 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[0, 2]$

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5、我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|P F_{1}| |P F_{2}| = 4$ ，化简可得卡西尼卵形线 $C : x^{2} + y^{2} + 1 = 2 \sqrt{x^{2} + 4}$ ，则（）

A、曲线C既是中心对称图形也是轴对称图形 B、曲线C关于直线 $y = x$ 对称 C、曲线C都在圆 $x^{2} + y^{2} = 6$ 内 D、曲线C与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 没有公共点

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6、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x < 0\}, B = \{x| x > 0\}$ ，则（）

A、 $A \cap (∁_{U} B) = \emptyset$ B、 $A \cup B = A$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \subseteq B$

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7、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 $\{x | x < - 6\}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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8、下列说法正确的有（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，则 $P (A B) = 0$ B、若事件 $A$ 与事件 $B$ 是对立事件，则 $P (A + B) = 1$ C、把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 D、某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件

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9、若直线 $l$ 的方程为 $y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}, a b > 0, a c < 0$ ，则此直线必不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}, a_{2 k}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2 k - 1} \leq a_{2 k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ ；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；

(3)、记 $f (n) = \frac{1}{2} (\frac{|\sin n|}{\sin n} + 3)$ ， $T_{n} = \frac{{(- 1)}^{f (2)}}{a_{1} a_{2}} + \frac{{(- 1)}^{f (3)}}{a_{3} a_{4}} + \frac{{(- 1)}^{f (4)}}{a_{5} a_{6}} + \dots + \frac{{(- 1)}^{f (n + 1)}}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ ．

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11、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $C_{1} : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ ．
（1）过 $C_{1}$ 的左顶点引 $C_{1}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交 $C_{1}$ 于P，Q两点，若l与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证： $O P ⊥ O Q$ ；
（3）设椭圆 $C_{2} : 4 x^{2} + y^{2} = 1$ ，若M，N分别是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点，且 $O M ⊥ O N$ ，求证：O到直线MN的距离是定值．

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12、2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

喜欢奥数
不喜欢奥数
总计
已选奥数课（A组）
150
50
200
未选奥数课（B组）
90
110
200
总计
240
160
400

(1)、若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？

(2)、能否有 $99.5 %$ 的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附：
$P (χ^{2} \geq α)$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$α$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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13、已知 $f (x) = x + a \sin x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (π,π)$ 处的切线斜率为 $2$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x + 1) + f (3 - 2 x) > 0$ 的解集.

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14、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ .

(1)、求直线 $A C_{1}$ 和平面 $A B C D$ 所成角的大小；

(2)、求二面角 $C_{1} - A B - C$ 的大小.

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15、我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为 $(0, 0)$ .在 $x$ 轴（ $y$ 轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果 $x$ 轴与 $y$ 轴相交所成的角为 $θ$ ，过平面任意一点 $P$ ，分别作坐标轴的平行线，交 $x$ 轴于点 $M$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，将点 $M$ 在 $x$ 轴上的坐标 $a$ ，点 $N$ 在 $y$ 轴上的坐标 $b$ 称为点 $P$ 在该坐标系中的坐标，记为 $P (a, b)$ .若 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 是该坐标系中的任意两点，则点 $A, B$ 之间的距离 $|A B|$ 为（）

A、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ B、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ C、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ D、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} \pm 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

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16、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱线长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点E，F，且 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论中错误的是（　　）

A、 $A C ⊥ B E$ B、 $E F / /$ 平面ABCD C、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值 D、异面直线AE，BF所成的角为定值

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17、“ $x = 4$ ”是“ $x \geq 3$ ”成立的（）条件.

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充分必要 D、既非充分又非必要

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18、若关于 $x$ 的方程 $t x^{2} - 2 t ln x + 3 (t - 4) = 0$ 在区间 $(0, e)$ 内有两个不同的实数解，那么实数 $t$ 的取值范围是.

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19、定义 $H_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“均值”，已知数列 $\{b_{n}\}$ 的“均值” $H_{n} = 2^{n + 1}$ ，记数列 $\{b_{n} - k n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \leq S_{6}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，则实数 $k$ 的范围为．

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20、已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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	喜欢奥数	不喜欢奥数	总计
已选奥数课（A组）	150	50	200
未选奥数课（B组）	90	110	200
总计	240	160	400

$P (χ^{2} \geq α)$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$α$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$