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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0 \\ ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + 1, x \geq 0 \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[0, + \infty)$

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2、已知函数 $f (x) = lg (2^{x} + a)$ 的定义域和值域都为 $R$ ，则（）

A、 $a = - 1$ B、 $a = 0$ C、 $a = 1$ D、 $a$ 不存在

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3、设集合 $A = \{x |sin x < \frac{\sqrt{10}}{4}\}, B = \{\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{\frac{π}{6}\}$ C、 $\{\frac{π}{6}, \frac{π}{4}\}$ D、 $\{\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}\}$

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4、在棱长为 1 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $E 、 F$ 分别为线段 $B_{1} C ， D_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D B} ， λ \in [0, 1], μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ + μ = 1$ 时，三棱锥 $D - P E F$ 的体积为定值 B、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积是 $\frac{9 π}{4}$ C、 $△ P E F$ 周长的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$ D、若 $A P = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为 $\frac{π}{2}$

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5、复数 $Z = i + {2i}^{2} + {3i}^{3} + \cdot \cdot \cdot + 20 {24i}^{2024}$ 的虚部是（）

A、1012 B、1011 C、 $- 1011$ D、 $- 1012$

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6、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有2个黑球的概率为 $q_{n}$ ，恰有0个黑球的概率为 $r_{n}$ .

(1)、求 $p_{1}, p_{2}$ 的值；

(2)、根据马尔科夫链的知识知道 $p_{n} = a \cdot p_{n - 1} + b \cdot q_{n - 1} + c \cdot r_{n - 1}$ ，其中 $a, b, c \in [0, 1]$ 为常数，同时 $p_{n} + q_{n} + r_{n} = 1$ ，请求出 $p_{n}$ ；

(3)、求证： $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ 为定值.

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7、已知函数 $f (x) = a^{x}, g (x) = a x$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、若 $a = e$ ，试证明： $\forall x \in R, f (x) \geq g (x)$ 恒成立；

(2)、若 $x \in (0, + \infty)$ ，求函数 $h (x) = ln (\frac{g (x)}{f (x)})$ 的单调区间；

(3)、请判断 $π^{\frac{2}{e}}$ 与 $π \cdot \frac{2}{e}$ 的大小，并给出证明.（参考数据： $\frac{2}{e} \approx 0.736, e \approx 2.718, π \approx 3.1416, lnπ \approx 1.145$ ）

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8、如图所示多面体ABCDEF中，平面 $A D E ⊥$ 平面ABCD， $C F ⊥$ 平面ABCD， $△ A D E$ 是正三角形，四边形ABCD是菱形， $A B = 2$ ， $C F = \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3} .$

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面ABCD；

(2)、求二面角 $E - A F - C$ 的正弦值.

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9、已知点 $P (0, - \frac{3}{2})$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $M$ 在直线 $A B$ 上，且满足 $\vec{P A} \cdot \vec{A B} = 0, \vec{A M} = 3 \vec{A B}$ .

(1)、当点 $A$ 在 $x$ 轴上移动时，求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设 $Q$ 为（1）中的曲线 $C$ 上一点，直线 $l$ 过点 $Q$ 且与曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线垂直， $l$ 与曲线 $C$ 相交于另一点 $R$ ，当 $\vec{O Q} \cdot \vec{O R} = 0$ （ $O$ 为坐标原点）时，求直线 $l$ 的方程.

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， (2 sin A - sin C) cos B = sin B cos C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} - a e^{x}$ ，若函数 $f (x)$ 有三个极值点 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，若 $x_{3} \geq 3 x_{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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12、若随机变量 $X \sim B (3, p), Y \sim N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 1) = 0.657, P (1 \leq Y < 3) = p$ ，则 $P (Y > 5) =$ ．

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13、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ，且 $f (x)$ 不是常函数，则下列说法中正确的有（）

A、若2为 $f (x)$ 的周期，则 $f (x)$ 为奇函数 B、若 $f (x)$ 为奇函数，则2为 $f (x)$ 的周期 C、若4为 $f (x)$ 的周期，则 $f (x)$ 为偶函数 D、若 $f (x)$ 为偶函数，则4为 $f (x)$ 的周期

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14、已知 $x, y \in R$ ，且 $12^{x} = 3$ ， $12^{y} = 4$ ，则( )

A、 $y > x$ B、 $x + y > 1$ C、 $x y < \frac{1}{4}$ D、 $\sqrt{x} + \sqrt{y} < \sqrt{2}$

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15、正项数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = k a_{n}$ （ $k$ 为实数），若 $a_{2022} + a_{2023} + a_{2024} = 3$ ，则 $a_{2022}^{2} + a_{2023}^{2} + a_{2024}^{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[3, 9)$ B、 $[3, 9]$ C、 $[3, 15)$ D、 $[3, 15]$

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16、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ $(A > 0, ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上是单调函数，且 $f (- π) = f (0) = - f (\frac{π}{2})$ 则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ 或 $2$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $1$ 或 $\frac{1}{3}$

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} - 1, x \geq 0 \\ k x, x < 0 \end{cases}$ ，若存在非零实数 $x_{0}$ ，使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ 成立､则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $[- 1, 0)$

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18、AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为（）

A、60° B、30° C、45° D、15°

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19、已知复数 $z = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{1 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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20、已知 $M, N, P, Q$ 是平面内四个互不相同的点， $\vec{a}, \vec{b}$ 为不共线向量， $\vec{M N} = 2023 \vec{a} + 2025 \vec{b}$ ， $\vec{N P} = 2024 \vec{a} + 2024 \vec{b}, \vec{P Q} = - \vec{a} + \vec{b}$ ，则（）

A、 $M, N, P$ 三点共线 B、 $M, N, Q$ 三点共线 C、 $M, P, Q$ 三点共线 D、 $N, P, Q$ 三点共线

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