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相关试卷

1、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数；②f (x) $\leq$ 75恒成立； $③$ $f (x) \leq \frac{x}{5}$ 恒成立．
(1)判断函数 $f (x) = \frac{x}{30} + 10$ 是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(2)已知函数 $g (x) = a \sqrt{x} - 5 (a \geq 1)$ 符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 为奇函数，且 $f (4) = \frac{8}{17}$ ．
（1）求实数 $a, b$ 的值；
（2）判断 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）求不等式 $f (x^{2} - 2 x + 4) + f (- 4) \geq 0$ 的解集．

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3、求下列函数的值域：

(1)、 $y = \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1} (x > 1)$

(2)、 $y = 3 x - \sqrt{x + 1}$

(3)、 $f (x) = 3 x + 1 + \frac{9}{3 x - 2} (x < \frac{2}{3})$

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4、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 10 < 0\}, B = \{x | 2 - a \leq x \leq 2 a + 1, a \in R\}, C = \{x | - 3 < x < 3\}$

(1)、全集 $U = R$ ，求 $(∁_{U} A) \cap C$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围．

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5、（1）已知 $10^{m} = 2, 10^{n} = 3$ ，求 $10^{3 m - 2 n}$ 的值
（2）求值： $4^{\frac{1}{2}} - {(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}} - {(π - 3)}^{0} + 3^{π} \times {(\frac{1}{3})}^{π}$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 5, & x < 1 \\ x + \frac{1}{x} + 2, & x \geq 1 \end{matrix}$ ，若当 $x \in [m, n]$ 时， $f (x) \in [4, 5]$ ，则 $m - n$ 的最小值是．

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7、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + b x + 2$ ，若 $f (x + 2)$ 是偶函数，则 $b =$

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8、若幂函数的图象经过 $(2, 8)$ ，则解析式为

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9、设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意 $a, b \in P$ ，都有 $a + b, a - b, a b \in P$ ，且若 $b \neq 0$ ，则 $\frac{a}{b} \in P$ ，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（）

A、数域必含有0，1两个数 B、整数集是数域 C、若有理数集 $Q \subseteq M$ ，则数集M一定是数域 D、数域中有无限多个元素

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10、已知不等式 $x^{2} + a x + b > 0 (a > 0)$ 的解集是 ${x | x \neq d}$ ，则下列四个结论中正确的是（）

A、 $a^{2} = 4 b$ B、 $a^{2} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若不等式 $x^{2} + a x - b < 0$ 的解集为 $(x_{1}, x_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ D、若不等式 $x^{2} + a x + b < c$ 的解集为 $(x_{1}, x_{2})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 4$ ，则 $c = 4$

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11、已知幂函数 $f (x) = x^{n}, n \in {- 2, - 1, 1, 3}$ 的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（）

A、 $f (- 3) > f (2)$ B、 $f (- 3) < f (2)$ C、若 $| a | > | b | > 0$ ，则 $f (a) > f (b)$ D、若 $| a | > | b | > 0$ ，则 $f (a) < f (b)$

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12、函数 $g (x) = a x + 2 (a > 0)$ ， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，对 $\forall x_{1} \in [- 1, 2]$ ， $\exists x_{0} \in [- 1, 2]$ ，使 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ 成立，则a的取值范围是（　　）

A、 $(0, \frac{1}{3}]$ B、 $[1, 2)$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{3}, + \infty)$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{cases}$ 是 $R$ 上的增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq a \leq 0$ B、 $- 3 \leq a \leq - 2$ C、 $a \leq - 2$ D、 $a < 0$

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14、下列函数中表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{4}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $f (x) = x - 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} + x}, g (x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x + 1}$ D、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = \{\begin{matrix} x, x \geq 0, \\ - x, x < 0 \end{matrix}$

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15、函数 $y = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $[- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, 3) \cup (3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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16、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\overset{⃑}{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\overset{⃑}{O M}$ 的相伴函数.
（1）设函数 $g (x) = \sin (x + \frac{5 π}{6}) - \sin (\frac{3 π}{2} - x)$ ，试求 $g (x)$ 的相伴特征向量 $\overset{⃑}{O M}$ ；
（2）记向量 $\overset{⃑}{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，求当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ ， $\sin x$ 的值；
（3）已知 $A (- 2, 3)$ ， $B (2, 6)$ ， $\overset{⃑}{O T} = (- \sqrt{3}, 1)$ 为 $h (x) = m \sin (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\overset{⃑}{A P} ⊥ \overset{⃑}{B P}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $F$ 为 $A B$ 上的点，且 $A F = 2 F B$ ， $E$ 为 $P D$ 中点.

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、在棱 $P C$ 上是否存在一点 $G$ ，使得 $F G / /$ 平面 $A E C$ ？若存在，求出 $\frac{C G}{G P}$ 的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

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18、在① $\cos A = \frac{2 c - a}{2 b}$ ， ② $b \cos C = (2 a - c) \cos B$ 中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知_________.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，且 $\cos A \cos C = - \frac{1}{8}$ ，求 $a + c$ .
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.

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19、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值；

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20、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的边分别对应 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 c cos A = b - c$ ，则 $\frac{sin (B - C)}{2 sin A}$ 的取值范围是

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