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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $A = 60 °$ ， $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 D、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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2、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，O为底面ABCD的中心， $A C_{1}$ 交平面 $A_{1} B D$ 于点E，点F为棱CD的中点，则下列错误的是（）

A、三棱锥 $A_{1} {- C}_{1} D B$ 内切球半径为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、异面直线BD与 $A C_{1}$ 所成的角为 $60^{°}$ C、点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、过点 $A_{1}$ ， B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 $\frac{9}{8}$

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3、下述四条性质：①最小正周期是 $π$ ， ②图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，③图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称，④在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（）

A、 $y = sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ B、 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = cos (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ .已知 $\frac{2 sin B}{a} = \frac{sin A}{2 b}, cos A = - \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{c}{b} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、已知向量 $\vec{m} = (2 \sqrt{3}, \cos θ), \vec{n} = (\sin θ, 2)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 1$ ，则 $\cos (2 θ + \frac{π}{3})$ 的值是（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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6、一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在南偏东 $30^{\circ}$ ，行驶x小时后，船到达C处，看到这个灯塔在南偏西 $15^{\circ}$ ，此时测得船与灯塔的距离为 $30 \sqrt{6} km$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7、用斜二测画法作出 $△ A B C$ 的水平放置的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $A^{'} C^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A^{'} B^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 绕 $A C$ 所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（）

A、 $\frac{5}{3} π$ B、 $9 π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{10}{3} π$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, - 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, 1)$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ D、 $\vec{a} ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$

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9、设i为虚数单位，复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3 i}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 i}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动时，下列命题正确的是（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积为定值 B、直线 $A P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的大小不变 C、直线 $A P$ 与直线 $A_{1} D$ 垂直 D、二面角 $P - A D_{1} - C$ 的大小不变

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11、已知 $\frac{3 sin α}{sin α + cos α} = 2$ ．

(1)、若 $α$ 为锐角，求 $cos (α - \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $sin 2 α - 2 cos 2 α + 1$ 的值．

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12、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、直线 $x = - \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上有最小值

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13、秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）
如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
日期代码 $x$
1
2
3
4
5
6
7
杯数 $y$
4
15
22
26
29
31
32

(1)、请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断， $y = a + b x$ 与 $y = c + d ln x$ 哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)、建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？

(3)、若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.
参考公式和数据：其中 $u_{i} = \ln x_{i}, \bar{u} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} u_{i}$
回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{u}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{1}$
$\sum_{i = 1}^{7} u_{i} y_{1}$
$\sum_{i = 1}^{7} u_{i}^{2}$
$e^{2.1}$
22.7
1.2
759
235.1
13.2
8.2

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ D C, A B // D C$ ， $P C = A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，点 $E$ 在棱 $P B$ 上.

(1)、证明：平面 $E A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $\vec{B E} = 2 \vec{E P}$ 时，求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

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15、如图，在下列给出的正方体中，点 $M ， N$ 为顶点，点 $O$ 为下底面的中心，点 $P$ 为正方体的棱所在的中点，则 $O P$ 与 $M N$ 不垂直的是（）.

A、 B、 C、 D、

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16、为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x} = 2.1$ ，样本方差 $s^{2} = 0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N (1.8, {0.1}^{2})$ ，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N (\bar{x}, s^{2})$ ，则（）（参考：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $P (Z < μ + σ) \approx 0.8413$ ）

A、 $P (X > 2) > 0.5$ B、 $P (X > 1.9) < 0.2$ C、 $P (Y > 2) > 0.5$ D、 $P (Y > 2) < 0.8$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{4 a_{n} + 1}$ ， $(n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $a_{n} = \frac{1}{n}$ B、 $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ C、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{4 n - 3}$ D、 $a_{n} = \frac{1}{4 n - 3}$

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18、对于函数 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $h (x)$ ，如果存在实数a，b，使得 $h (x) = a \cdot f_{1} (x) + b \cdot f_{2} (x)$ ，那么称函数 $h (x)$ 为 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 的生成函数．

(1)、已知 $f_{1} (x) = \sin x$ ， $f_{2} (x) = \cos x$ ， $h (x) = \sin (x - \frac{π}{6})$ ，是否存在实数a，b，使得 $h (x)$ 为 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 的生成函数？若不存在，试说明理由；

(2)、当 $a = b = 1$ ， $h (x) = e^{x}$ 时，是否存在奇函数 $f_{1} (x)$ ，偶函数 $f_{2} (x)$ ，使得 $h (x)$ 为 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 的生成函数？若存在，请求出 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 的解析式，若不存在，请说明理由；

(3)、设函数 $f_{1} (x) = \ln (x^{2} + 6 x + 5)$ ， $f_{2} (x) = \ln (2 x - m)$ ， $a = 1$ ， $b = - 1$ ，生成函数 $h (x)$ ，若函数 $h (x)$ 有唯一的零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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19、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $2 b sin A = a tan B$ ；

(1)、求B；

(2)、若 $a + c = 2 b$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状.

(3)、若 $b = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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20、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ， D为BC的中点；
（1）求该三棱柱的体积与表面积；
（2）求三棱锥 $D - A B_{1} C_{1}$ 的内切球半径．

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日期	第一天	第二天	第三天	第四天	第五天	第六天	第七天
日期代码 $x$	1	2	3	4	5	6	7
杯数 $y$	4	15	22	26	29	31	32

$\bar{y}$	$\bar{u}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{1}$	$\sum_{i = 1}^{7} u_{i} y_{1}$	$\sum_{i = 1}^{7} u_{i}^{2}$	$e^{2.1}$
22.7	1.2	759	235.1	13.2	8.2