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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (- 1, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sin^{2} x - \cos^{2} x, \sin x \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及对称中心；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $\cos α + \cos (α - \frac{π}{3})$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若 $b = \sqrt{3}$ ， $f (B) = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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2、某学校食堂有 $A, B$ 两家餐厅，张同学第1天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ．从第2天起，如果前一天选择 $A$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ；如果前一天选择 $B$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ．设他第 $n$ 天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{2}$ 的值及 $P_{n + 1}$ 关于 $P_{n}$ 的表达式；

(2)、证明数列 $\{P_{n} - \frac{2}{3}\}$ 是等比数列，并求出 $\{P_{n}\}$ 的通项公式．

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3、函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + x - 2 \ln x - \ln a (x > 0)$ 满足 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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4、如图，半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 (x < 0)$ 组成的曲线称为“果圆”，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ， $a > 0$ ， $b > c > 0$ .“果圆”与x轴的交点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得 $∠ A_{1} P A_{2} = \frac{π}{2}$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围为.

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为a、b、c， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 边上一点，满足 $B D = 1$ ，且 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C}$ ．则 $4 a + c$ 的最小值为．

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6、设正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $S_{9} = S_{4} + q^{4} S_{5}$ B、若 $T_{2025} = T_{2020}$ ，则 $a_{2023} = 1$ C、若 $a_{1} a_{9} = 4$ ，则当 $a_{4}^{2} + a_{6}^{2}$ 取得最小值时， $a_{1} = \sqrt{2}$ D、若 ${(a_{n + 1})}^{n} > T_{n}^{2}$ ，则 $a_{1} < 1$

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7、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ B、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、若复数 $z_{2}$ 满足 $z_{2} = \frac{5 i}{2 - i} + 5 i$ ，则 $z_{2}$ 在复平面对应的点是 $(- 1, 7)$ D、若 $z_{1} = - 4 + 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p = 8$

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8、椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，若椭圆上存在不同的两点 $M, N$ 关于直线 $y = 3 x + m$ 对称，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ B、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ C、 $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ D、 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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9、已知点 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, 3)$ ，点 $P$ 是圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则 $△ P A B$ 面积的最小值为（）

A、6 B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $6 - \frac{\sqrt{10}}{2}$

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10、已知函数 $f (x) = \sin^{4} ω x + \cos^{4} ω x - \frac{5}{8}$ 在 $(0, \frac{π}{4}]$ 上有且仅有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}]$ B、 $[\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ C、 $(\frac{8}{3}, \frac{16}{3}]$ D、 $[\frac{8}{3}, \frac{16}{3})$

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11、某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（）

A、 $\frac{6}{25}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{2}{5}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ ，若 $b_{n} = \frac{2}{n (a_{n} + 1)}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则（）

A、 $T_{n} < \frac{1}{2}$ B、 $T_{n} < 1$ C、 $T_{n} < 2$ D、 $T_{n} < \frac{1}{4}$

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13、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A E = 2 E B$ ， $D F = F C$ ，若 $\vec{C B} = \vec{m}$ ， $\vec{C E} = \vec{n}$ ，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{m} + \frac{3}{2} \vec{n}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{m} + \frac{3}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{m} - \frac{3}{2} \vec{n}$

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14、设集合 $M = \{x | x = 2 n + 1, n \in Z\}$ ， $N = \{x | x = 3 n + 1, n \in Z\}$ ， $P = \{x | x = 6 n + 1, n \in Z\}$ ，则（）

A、 $M \subset P$ B、 $N \subset P$ C、 $P = M \cap N$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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15、要使代数式 $\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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16、如图，直线 $y = k x + 6$ 与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为 $(- 8, 0)$ ，点A的坐标为 $(- 6, 0)$ ，若点 $P (x, y)$ 是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动到（填P点的坐标）的位置时， $△ O P A$ 的面积为9．

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17、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 $I$ （单位： $A$ ）与电阻 $R$ （单位： $Ω$ ）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过 $10 A$ ，那么用电器可变电阻 $R$ 应控制的范围是.

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18、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点B在y轴上，点 $A, C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象上，且 $B C // x$ 轴.若点C横坐标为3， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5}{4}$ ，则 $k$ 的值为.

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19、某校为美化校园，计划对面积为2000 $m^{2}$ 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为600 $m^{2}$ 区域的绿化时，甲队比乙队少用6天.

(1)、甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？

(2)、若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.5万元，乙队为0.3万元，要使这次的绿化总费用不超过10万元，至少应安排甲队工作多少天？

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20、为了绿化环境，某中学八年级（ $3$ 班）同学都积极参加了植树活动，下面是今年 $3$ 月份该班同学植树情况的扇形统计图和不完整的条形统计图：
请根据以上统计图中的信息解答下列问题.

(1)、植树 $3$ 株的人数为     ；

(2)、扇形统计图中植树为 $1$ 株的扇形圆心角的度数为     ；

(3)、该班同学植树株数的中位数是     ；

(4)、小明以下方法计算出该班同学平均植树的株数是： $(1 + 2 + 3 + 4 + 5) \div 5 = 3$ （株），根据你所学的统计知识，判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式，并计算出结果

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