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相关试卷

1、已知 $S_{n}$ 为公差为2的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 为等差数列.

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{S_{2^{n}}\}$ 的前 $n$ 项和.

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2、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a = 4$ ， $b = 8$ ，角C为锐角，已知 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{7}$ .

(1)、求c；

(2)、若 $C D$ 为 $A B$ 上的中线，求 $∠ B D C$ 的余弦值.

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3、已知点P是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + \frac{1}{3} c^{2}$ 在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率 $e =$ .

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4、位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高 $A B$ ，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得 $∠ B C D = 70 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $C D = 108$ 米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高 $A B$ 为米.（结果保留整数，参考数据： $\cos 80 ° \approx 0.174$ ）

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5、已知二项式 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数为84，则 $n =$ .

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6、直线 $y = \sqrt{3}$ 的倾斜角是.

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7、（多选）已知数据 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6} < x_{7}$ ，若去掉 $x_{4}$ 后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的平均数与方差为 $\bar{x_{1}}$ ， $s_{1}^{2}$ ，记 $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ ， $x_{7}$ 的平均数与方差为 $\bar{x_{2}}$ ， $s_{2}^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}} > 2 x_{4}$ B、 $\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}} < 2 x_{4}$ C、 $s_{1}^{2} - s_{2}^{2} > \frac{1}{4} [\sum_{k = 1}^{4} {(x_{k} - x_{4})}^{2} - \sum_{k = 4}^{7} {(x_{k} - x_{4})}^{2}]$ D、 $s_{1}^{2} - s_{2}^{2} < \frac{1}{4} [\sum_{k = 1}^{4} {(x_{k} - x_{4})}^{2} - \sum_{k = 4}^{7} {(x_{k} - x_{4})}^{2}]$

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8、已知函数 $f (x) = \cos 2 x$ ， $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、将函数 $y = f (x)$ 的图象右移 $\frac{π}{12}$ 个单位可得到函数 $y = g (x)$ 的图象 B、将函数 $y = f (x)$ 的图象右移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得到函数 $y = g (x)$ 的图象 C、函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{24}$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7π}{24}, 0)$ 对称

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9、已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A_{1} A = \frac{\sqrt{3}}{2} A B$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D$ ， $O$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 为线段 $A B_{1}$ 上的动点，则下列命题正确的是（）

A、 $\{\vec{O A}, \vec{B D}, \vec{A B_{1}}\}$ 可作为一组空间向量的基底 B、 $\{\vec{O A}, \vec{O D}, \vec{A B}\}$ 可作为一组空间向量的基底 C、直线 $O P / /$ 平面 $C_{1} B D$ D、向量 $\vec{C P}$ 在平面 $A B_{1} D_{1}$ 上的投影向量为 $\vec{O P}$

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (x, - 3)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = - 3 \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = \sqrt{3}$ C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $x = 0$ D、若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{5 π}{6}$ ，则 $x = - \sqrt{3}$

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11、已知四面体 $A B C D$ ， $△ A B C$ 是边长为6的正三角形， $D A = D B = 2 \sqrt{3}$ ，二面角 $D - A B - C$ 的大小为 $\frac{2}{3} π$ ，则四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $40 π$ B、 $52 π$ C、 $72 π$ D、 $84 π$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ ， $b_{n + 1} = a_{n} - b_{n}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n - 1}$ B、 $2^{\frac{n - 1}{2}}$ C、 $2^{\frac{n + 1}{2}}$ D、 $2^{\frac{2 n - 1 + {(- 1)}^{n}}{4}}$

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13、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\sin x f (x) + \cos x f^{'} (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{3}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$ B、 $f (\frac{π}{6}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$ C、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$ D、 $f (\frac{π}{6}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$

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14、冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）（）

A、3小时 B、4小时 C、5小时 D、6小时

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15、若 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x}$ 的最小值是（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、9

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16、已知复数 $z$ 满足 $z = - \bar{z} i$ （ $i$ 为虚数单位），且 $|z| = \sqrt{2}$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{2} i$ D、 $\sqrt{2} - \sqrt{2} i$

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17、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $B = \{x |\frac{3}{x - 1} \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 3]$ B、 $(1, 3]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 1, 1)$

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18、如图，对于曲线 $Γ$ ，存在圆 $C$ 满足如下条件：
①圆 $C$ 与曲线 $Γ$ 有公共点 $A$ ，且圆心在曲线 $Γ$ 凹的一侧；
②圆 $C$ 与曲线 $Γ$ 在点 $A$ 处有相同的切线；
③曲线 $Γ$ 的导函数在点 $A$ 处的导数（即曲线 $Γ$ 的二阶导数）等于圆 $C$ 在点 $A$ 处的二阶导数（已知圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ 在点 $A (x_{0}, y_{0})$ 处的二阶导数等于 $\frac{r^{2}}{{(b - y_{0})}^{3}}$ ）；
则称圆 $C$ 为曲线 $Γ$ 在 $A$ 点处的曲率圆，其半径 $r$ 称为曲率半径．

(1)、求抛物线 $y = x^{2}$ 在原点的曲率圆的方程；

(2)、求曲线 $y = \frac{1}{x}$ 的曲率半径的最小值；

(3)、若曲线 $y = e^{x}$ 在 $(x_{1}, e^{x_{1}})$ 和 $(x_{2}, e^{x_{2}}) (x_{1} \neq x_{2})$ 处有相同的曲率半径，求证： $x_{1} + x_{2} < - ln 2$ ．

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19、已知 $P$ ， $F$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的公共点和公共焦点，直线 $P F$ 倾斜角为 $60^{\circ}$ ，则双曲线的离心率为．

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20、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = \frac{1}{2} A D$ ，点 $E$ 是 $A D$ 的中点．现将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ A^{'} B E$ ，将 $△ D C E$ 沿 $C E$ 翻折到 $△ D^{'} C E$ ，使得二面角 $A^{'} - B E - C$ 等于 $60 °$ ， $D^{'} - C E - B$ 等于 $90 °$ ，则直线 $A^{'} B$ 与平面 $D^{'} C E$ 所成角的余弦值等于．

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