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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} ω x + 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x + a (ω > 0, a \in R)$ . $f (x)$ 的最大值为1，且相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .求：

(1)、函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、函数 $f (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 的单调递增区间.

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2、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 2$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 1$ ，它们的夹角为120°．

(1)、求 $|\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} - k \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角，求实数k的取值范围．

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3、函数 $f (x) = \frac{b}{|x| - a} (a > 0, b > 0)$ 的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.下列命题正确的是.
①“囧函数”的值域为R；
②“囧函数”在 $(0, + \infty)$ 上单调递增
③“囧函数”图象关于y轴对称；
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象至少有一个交点.

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4、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，且满足 $(\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O C}) \cdot \overset{⃑}{C A} = (\overset{⃑}{O C} + \overset{⃑}{O B}) \cdot \overset{⃑}{C B} = 0$ ，若 $A C = \sqrt{2}$ ，则 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{A C} =$ .

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5、如图，点 $P_{0} (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ 为锐角 $α$ 的终边与单位圆的交点， $O P_{0}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{1}$ ， $O P_{1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{2}$ ， ……， $O P_{n - 1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{n}$ ，则 $\cos 2 α =$ ，点 $P_{2020}$ 的横坐标为.

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6、向量 $\vec{a} = (cos 50 °, sin 50 °)$ 与 $\vec{b} = (cos 10 °, sin 10 °)$ 的夹角的大小为.

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7、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2， $△ A B E, △ B E C, △ E C D$ 均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{B D}$ 的最大值为（）

A、 $12$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $6 + 2 \sqrt{3}$ D、 $12 + 2 \sqrt{3}$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x, x \leq a \\ x^{2}, (x > a) \end{cases}$ ，若存在实数 $b$ ，使函数 $g (x) = f (x) - b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a <0$ B、 $a < 1$ 且 $a \neq 0$ C、 $a < 1$ D、 $a > 0$ 且 $a \neq 1$

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9、设函数 $f (x) = \frac{sin x}{x}$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、奇函数，且对任意 $x \neq 0$ 都有 $|f (x)| < 1$ B、奇函数，且存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) > 1$ C、偶函数，且对任意 $x \neq 0$ 都有 $|f (x)| < 1$ D、偶函数，且存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) > 1$

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10、某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位： $℃$ ）满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ （ $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0 $℃$ 的保鲜时间是192小时，在22 $℃$ 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 $℃$ 的保鲜时间是（）

A、16小时 B、20小时 C、24小时 D、28小时

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11、设 $a, b \in R$ ，且 $2^{a} - b > 2^{b} - a$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $tan a > tan b$ C、 $3 - a < 2 - b$ D、 $a |a| > b |b|$

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12、“ $φ = - \frac{π}{4} + k π, k \in Z$ ”是“函数 $y = tan (x + φ)$ 的图象关于 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + c (x \in R)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，则 $\frac{1}{c} + \frac{4}{a}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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14、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = cos x$ B、 $y = lg x$ C、 $y = x^{\frac{3}{2}}$ D、 $y = e^{|x|}$

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15、已知集合 $A = \{0, a\}$ ， $B = \{b |b^{2} - 3 b < 0, b \in Z\}$ ， $A \cap B \neq \emptyset$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、1或2 D、2或3

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16、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、判断 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1, (x \in [0, 4])$ 是否为 $f (x) = x + 4 (x \in [0, 5])$ 的“n重覆盖函数”，如果是，求出 $n$ 的值；如果不是，说明理由．

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (2 a - 3) x + 1, - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, x > 1 \end{array}$ ，为 $f (x) = \log_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ ，的“2重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2] = 1, [2] = 2, [- 1.2] = - 2$ ．若 $h (x) = a x - [a x], x \in [0, 2)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}, x \in [0, + \infty)$ 的“ $2023$ 重覆盖函数”请直接写出正实数 $a$ 的取值范围（无需解答过程）．

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17、如图，在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D$ ， $D$ 为垂足，且满足 $|P D| = \sqrt{2} |M D|$ ．当点 $P$ 在圆上运动时， $M$ 的轨迹为 $Ω$ ．

(1)、求曲线 $Ω$ 的方程；

(2)、点 $A (2, 0)$ ，过点 $A$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交曲线 $Ω$ 于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．已知 $G$ 为 $A B$ 的中点，是否存在定点 $Q$ ，对于任意 $k (k \neq 0)$ 都有 $O G ⊥ C Q$ ，若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E F // A D$ ， $A E = 2 E F = 2$ ， $∠ E A D = 120^{\circ}$ ，平面 $A D F E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ C F$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $B D F$ 所成锐角的余弦值．

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19、树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；

(2)、如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；

(3)、若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A C$ ， $B C$ 上的两点 $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求 $|\vec{A M}|$ 的值；

(2)、求证： $A M ⊥ P N$ ．

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