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相关试卷

1、已知随机变量 $ξ$ 的取值为 $i (i = 0, 1, 2)$ ，若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5}$ ， $E (ξ) = 1$ ，则 $D (2 ξ - 3) =$ .

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2、如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置 $X_{n}$ .则下列命题正确的是（）

A、 $P (X_{3} = 0) = 0$ B、 $P (X_{4} = - 2) = \frac{1}{4}$ C、 $E (X_{n}) = 0$ D、移动n次后质点最有可能回到原点

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3、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $4 a b > 1$ B、 $2 a^{2} + b \geq \frac{7}{8}$ C、 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{2}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b + 1} \leq 2$

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4、已知 $\frac{{(2 x + a)}^{5}}{x^{2}}$ 的展开式中所有项的系数之和为1，则（）

A、展开式的常数项为 $- 40$ B、 $a = 1$ C、展开式中系数最大的项的系数为80 D、所有幂指数为非负数的项的系数和为 $- 8$

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5、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x) = f^{'} (x) - 2 e^{x} + x$ 也是定义在 $R$ 上的奇函数，则关于 $x$ 的不等式 $g (1 - x^{2}) + g (2 x + 2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- 3, 1)$

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6、下列说法正确的是（）

A、随机变量 $X ~ B (3, 0.2)$ ，则 $P (X = 2) = 0.032$ B、某人在7次射击中，击中目标的次数为 $X$ 且 $X ~ B (7, 0.8)$ ，则当 $X = 5$ 时概率最大 C、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D、从 $10$ 个红球和 $20$ 个白球颜色外完全相同中，一次摸出 $5$ 个球，则摸到红球的个数服从超几何分布

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7、植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（）

A、30 B、36 C、40 D、42

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8、2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为 $\frac{2}{5}$ 和 $\frac{3}{5}$ ．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为 $\frac{3}{5}$ ；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为 $\frac{1}{2}$ ．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（）

A、 $\frac{23}{50}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{9}$

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9、 $(1 + \frac{1}{x^{3}}) {(1 + x)}^{7}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为（）

A、 $42$ B、 $35$ C、 $7$ D、 $1$

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10、已知集合 $A = \{x \in R | x^{2} < 10\}, B = \{2, 3, 4, 5\}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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11、卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ，定义无穷数列 $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{n + 1 - k} (n \in N_{+})$ ，记作 $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{c_{n}\}$ ，称为 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即 $\{c_{n}\}$ 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律 $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{b_{n}\} * \{a_{n}\}$ ．

(1)、若 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2^{n}$ ， $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{c_{n}\}$ ，求 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ， $c_{4}$ ；

(2)、对 $i \in N_{+}$ ，定义 $T_{i} \{a_{n}\}$ 如下：①当 $i = 1$ 时， $T_{i} \{a_{n}\} = \{a_{n}\}$ ；②当 $i \geq 2$ 时， $T_{i} \{a_{n}\}$ 为满足通项 $d_{n} = \{\begin{array}{l} 0, n < i \\ a_{n + 1 - i}, n \geq i \end{array}$ 的数列 $\{d_{n}\}$ ，即将 $\{a_{n}\}$ 的每一项向后平移 $i - 1$ 项，前 $i - 1$ 项都取为0．试找到数列 $\{t_{n}^{(i)}\}$ ，使得 $\{t_{n}^{(i)}\} \cdot \{a_{n}\} = T_{i} \{a_{n}\}$ ；

(3)、若 $a_{n} = n$ ， $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{c_{n}\}$ ，证明：当 $n \geq 3$ 时， $b_{n} = c_{n} - 2 c_{n - 1} + c_{n - 2}$ ．

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12、第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（ $n < N$ ）坦克的编号为 $X_{1}$ ， $X_{2}$ ， …， $X_{n}$ ，记 $M = max \{X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}\}$ ，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用 $\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}$ 估计总体的均值，因此 $N \bar{X} \approx \sum_{i = 1}^{N} i = \frac{N (N + 1)}{2}$ ，得 $\bar{X} \approx \frac{N + 1}{2}$ ，故可用 $Y = 2 \bar{X} - 1$ 作为N的估计.
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现 $Y < M$ 的无意义结果.例如，当 $N = 5$ ， $n = 3$ 时，若 $X_{1} = 1$ ， $X_{2} = 2$ ， $X_{3} = 4$ ，则 $M = 4$ ，此时 $Y = 2 \cdot \frac{1 + 2 + 4}{3} - 1 = \frac{11}{3} < M$ .

(1)、当 $N = 5$ ， $n = 3$ 时，求条件概率 $P (Y < M| M = 5)$ ；

(2)、为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当 $N = 8$ ， $n = 4$ 时，求随机变量M的分布列和均值 $E (M)$ ；

(3)、丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现 $E (M)$ 与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断 $E (M)$ 与N的大小关系，并给出证明.

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13、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = B C = C A = A A_{1} = B B_{1} = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 4$ ，点O为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点D为线段 $O A_{1}$ 的中点.

(1)、证明：直线 $A D ∥$ 平面 $O C C_{1}$ ；

(2)、若平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，求直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成线面角的大小.

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14、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，椭圆上的点到点F距离的最大值和最小值分别为 $\sqrt{2} + 1$ 和 $\sqrt{2} - 1$ ．

(1)、求该椭圆的方程；

(2)、对椭圆上不在上下顶点的任意一点P，其关于y轴的对称点记为 $P^{'}$ ，求 $|P F| + |P^{'} F|$ ；

(3)、过点 $Q (2, 0)$ 作直线交椭圆于不同的两点A，B，求 $△ F A B$ 面积的最大值．

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15、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知 $\frac{1}{\tan A}$ ， $\frac{1}{\cos B}$ ， $\frac{1}{\tan C}$ 是等差数列．

(1)、若a，b，c是等比数列，求 $\tan B$ ；

(2)、若 $B = \frac{π}{3}$ ，求 $\cos (A - C)$ ．

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16、已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将 $△ A B C$ 绕点O逆时针旋转角 $θ (0 < θ < \frac{2 π}{3})$ ，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使得两三角形所在平面的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，连接 $A A^{'}$ ， $A C^{'}$ ， $B A^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $C B^{'}$ ， $C C^{'}$ ，得到八面体 $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则该八面体体积的取值范围为．

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17、已知公差为正数的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $S_{2} = - 2 {(b_{3} + b_{4})}^{2}$ ， $S_{6} = 6 (b_{1} + b_{2}) (b_{5} + b_{6})$ ，则 $\{S_{n}\}$ 的最小项是第项．

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18、如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若 $|O A| + |O B| = 1$ 恒成立，则l始终和曲线C： $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ 相切，关于曲线C的说法正确的有（）

A、曲线C关于直线 $y = x$ 和 $y = - x$ 都对称 B、曲线C上的点到 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 和到直线 $y = - x$ 的距离相等 C、曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是 $[\frac{\sqrt{2}}{4}, 1]$ D、曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于 $1 - \frac{π}{4}$

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19、南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人.1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（）

A、由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵 B、1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加 C、1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降 D、此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡

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20、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 2, + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{e^{2}}$ C、方程 $f (x) = 2$ 的解有2个 D、导函数 $f^{'} (x)$ 的极值点为 $- 3$

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