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相关试卷

1、抛物线 $τ$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 焦点为F，且过点 $A (4, 4)$ ，斜率互为相反数的直线 $A C$ ， $A D$ 分别交 $τ$ 于另一点C和D，则下列说法正确的有（）

A、直线 $C D$ 过定点 B、 $τ$ 在C，D两点处的切线斜率和为 $- 4$ C、 $τ$ 上存在无穷多个点到点F和直线 $y = 5$ 的距离和为6 D、当C，D都在A点左侧时， $△ A C D$ 面积的最大值为 $\frac{256 \sqrt{3}}{9}$

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2、已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (cos α, sin α)$ ， $B (cos β, sin β)$ ， $C (cos \frac{α + β}{2}, sin \frac{α + β}{2})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} |$ B、 $| \vec{A C} | = | \vec{B C} |$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = cos \frac{α - β}{2}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2 \vec{O A} \cdot \vec{O C}$

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3、设 $a, b$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $a$ $∥$ $b, b$ $∥$ $α$ ，则 $a$ $∥$ $α$ B、若 $a$ $∥$ $b, a$ $∥$ $α, b$ $∥$ $β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $a ⊥ b, a ⊥ α, b$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a ⊥ α, b$ $∥$ $α$ ，则 $a ⊥ b$

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4、已知 $x^{x - 1} \geq \ln x + \frac{a}{x}$ 对 $\forall x > 0$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{e}$ C、e D、1

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5、若 $F (c, 0)$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，过 $F$ 作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $△ O A B$ 的面积为 $\frac{12 a^{2}}{7}$ ，则该双曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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6、如图所示，直线 $y = k x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2}))$ 两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ．若当 $x \in (0, x_{1})$ 时， $f^{'} (x) > k$ ，则函数 $f (x) - k x$ 在 $(0, + \infty)$ 上的极大值点个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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7、深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型： $L = L_{0} D^{\frac{G}{G_{0}}}$ ，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率， $L_{0}$ 表示初始学习率， $D$ 表示衰减系数， $G$ 表示训练迭代轮数， $G_{0}$ 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为 $0.5$ ，衰减速度为 $18$ ．经过 $18$ 轮迭代学习时，学习率衰减为 $0.4$ ，则学习率衰减到 $0.2$ 以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据： $\lg 2 = 0.3010$ ）

A、 $71$ B、 $72$ C、 $73$ D、 $74$

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8、已知 $a, b$ 均为正实数．则“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”是“ $a^{2} + 5 b^{2} > 6 a b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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9、小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（）种练习的方案.

A、31 B、18 C、21 D、33

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10、已知 $z = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ ，则 $|z^{2} - 1| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、已知集合 $A = \{x ∣ 2^{| x |} \leq 4, x \in Z\}$ ，则 $A$ 的元素数量是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12、已知两点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过点 $F (2, 0)$ 作直线 $l$ 交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ．
①证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得 $△ P F H$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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13、2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中 $\frac{1}{4}$ 的人计划只参观冰雪大世界，另外 $\frac{3}{4}$ 的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率．

(1)、从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、从游客中随机抽取 $n$ 人（ $n \in N^{*}$ ），记这 $n$ 人合计纪念币的个数恰为 $n + 1$ 的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{1} + P_{2} + \dots + P_{n}$ .

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14、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数．

(1)、若 $f (x) = g (x) + h (x)$ ，其中 $g (x)$ 为偶函数， $h (x)$ 为奇函数，求函数 $g (x)$ 的解析式以及最小值；

(2)、若 $y = f (x)$ 的图像与直线 $l : y = k x + 1$ 相切，求实数 $k$ 的值.

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15、如图，将长方形 $O A A_{1} O_{1}$ （及其内部）绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，其中 $O A = 1$ ， $O O_{1} = 2$ ，劣弧 $A B$ 的长为 $α$ ， $A_{1} B_{1}$ 为圆 $O_{1}$ 的直径，平面 $A O B$ 与平面 $A_{1} O_{1} B$ 的交线为 $l$ .

(1)、证明： $l / / O A$ ；

(2)、若平面 $A O B$ 与平面 $A_{1} O_{1} B$ 夹角的正切值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求四棱锥 $B - O A A_{1} O_{1}$ 的体积．

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16、南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $5$ 项分别为 $1$ ， $3$ ， $6$ ， $10$ ， $15$ ，设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2024} =$ .

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (3 - a) x - 1, x < 1 \\ x^{a}, x \geq 1 \end{cases}$ 是 $R$ 上的增函数，则实数a的可以是．（写出一个满足题意的a即可）

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18、已知角 $θ$ 的终边过点 $P (- 12, 5)$ ，则 $\cos 2 θ =$ .

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19、已知 $P$ 为直线 $l : 3 x + 4 y - 9 = 0$ 上动点， $P M, P N$ 分别与圆 $E : {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 相切于 $M, N$ 两点，则弦 $M N$ 的长度可能是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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20、某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的 $\frac{3}{5}$ ，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的 $\frac{1}{2}$ ．如果依据 $α = 0.05$ 的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据 $α = 0.01$ 的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查人数中男生可能有（）
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
$0.05$
$0.01$
$k_{0}$
$3.841$
$6.635$
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

A、150人 B、225人 C、300人 D、375人

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.05$	$0.01$
$k_{0}$	$3.841$	$6.635$