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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}, F$ 为椭圆 $C$ 的一个焦点，若 $F$ 关于直线 $y = k x$ 的对称点恰好在椭圆 $C$ 上，则斜率 $k$ 的取值构成的集合为．

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2、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E, F, G, H$ 分别是 $A B, B C, C D, D A$ 上的点，且 $\frac{A E}{E B} = \frac{A H}{H D} = \frac{C F}{F B} = \frac{C G}{G D} = \frac{1}{2}, M$ 是 $E G$ 和 $F H$ 的交点，以 $\{\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}\}$ 为基底表示 $\vec{A M}$ ，则 $\vec{A M} =$ ．

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3、任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数 $m = 6$ ，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列 $\{a_{n}\}$ 满足冰雹猜想，其递推关系为： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n}, 当 a_{n} 为偶数时, \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 . \end{matrix}$ 若 $a_{4} = 1$ ，则 $m$ 所有可能的取值为．

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4、曲线 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为．

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5、“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为 $6 cm$ ，重量为 $360 g$ 的实心玩具，则下列说法正确的是（）

A、将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为 $6 \sqrt{2} cm$ . B、将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为 $4 \sqrt{2} cm$ . C、将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为 $3 \sqrt{10} cm$ . D、将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.

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6、已知抛物线 $Γ : x^{2} = 2 p y$ 的准线方程为 $y = - 1$ ，焦点为 $F$ ，点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2} y_{2})$ 是抛物线上的两点，抛物线在 $A, B$ 两点的切线交于点 $P$ ，则下列结论一定正确的（）

A、抛物线的方程为： $x^{2} = 4 y$ B、 $|A F| = y_{1} + 1$ C、当直线 $A B$ 过焦点时，三角形 $O A B$ 面积的最小值为1 D、若 $|A B| = \frac{\sqrt{3}}{2} (y_{1} + y_{2} + 2)$ ，则 $∠ A F B$ 的最大值为 $\frac{2}{3} π$

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $- 3$ ，若 $a_{7} > 0$ ， $a_{8} < 0$ ，则首项 $a_{1}$ 的值可能是（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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8、下列导数运算正确的（）

A、 ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ B、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${[ln (2 x)]}^{'} = \frac{1}{x}$ D、 ${(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x}$

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9、已知直线 $l : y = k x + m (k \neq \pm 1)$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 有唯一公共点 $M$ ，过点 $M$ 且与 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A (x, 0), B (0, y)$ 两点，则当 $M$ 运动时，点 $P (x, y)$ 到 $C (2 \sqrt{2}, 0) 、 D (3 \sqrt{2}, 1)$ 两点距离之和的最小值为（）

A、 $\sqrt{51} - 4$ B、 $\sqrt{51} + 4$ C、 $\sqrt{51} - 2$ D、 $\sqrt{3}$

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10、法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点 $M$ 和 $N$ ，动点为 $H$ ，若 $\vec{M H} \cdot \vec{N H} = 2$ ，则动点 $H$ 的轨迹为（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、抛物线

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11、已知 $\vec{v}$ 为直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α, β$ 的法向量（ $α, β$ 不重合），则下列说法中，正确的是（）

A、 $\vec{v} ∥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ∥ α$ B、 $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ C、 $\vec{n_{1}} ∥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ D、 $\vec{v} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ⊥ α$

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12、圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = r^{2} - 5 (r > 0)$ 与圆 $D : x^{2} + y^{2} = 6$ 的位置关系不可能（）

A、内含 B、内切 C、相交 D、外切

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13、过点 $P (- 1, 2)$ 且与直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 垂直的直线方程是（）

A、 $x - 2 y + 5 = 0$ B、 $x + 2 y - 3 = 0$ C、 $2 x - y + 4 = 0$ D、 $2 x - y = 0$

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14、如果函数 $y = (x)$ 在 $x = 2$ 处的导数为1，那么 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x + 2) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{10} = 9$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、24 B、36 C、48 D、54

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16、直线： $x - 2 y + 3 = 0$ 与直线： $2 x + a y - 2 = 0$ 互相平行，则 $a =$ （）

A、1 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 1$

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17、如图， $△ A B E$ 是边长为2的等边三角形，且 $B D = \sqrt{3}, ∠ D B A = 30 °$ .

(1)、若点 $A$ 到平面 $B D E$ 的距离为1，求 $D E$ ；

(2)、若 $B E ⊥ A D, A D$ $//$ $B C$ 且 $A D = \frac{1}{2} B C$ ，求直线 $A D$ 与平面 $D C E$ 所成角的正弦值.

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18、如图，已知等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C, D$ 是 $A C$ 的中点，且 $B (0, 0), D (3, 0)$ .

(1)、求点 $A$ 的轨迹 $T$ 的方程；

(2)、设 $A C$ 所在直线与轨迹 $T$ 的另一个交点为 $E$ ，当 $△ A B D$ 面积最大且 $A$ 在第一象限时，求 $|A E|$ .

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19、如图，已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $P$ 是棱 $A B$ 的中点，过点 $P$ 作正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，关于下列判断正确的是（）

A、截面的形状可能是正三角形 B、截面的形状可能是直角梯形 C、此截面可以将正方体体积分成1：3 D、若截面的形状是六边形，则其周长为定值

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20、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = A B, Q$ 为线段 $B C$ 上一点（含端点），则直线 $P Q$ 与平面 $P C D$ 所成角不可能是（）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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