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相关试卷

1、函数 $f (x) = a^{x - 1} + 2 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象恒过定点.

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2、达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧 $A C$ 所对的圆心角 $α$ 为 $60^{\circ}$ ，弦 $A C$ 的长为 $10 cm$ ，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧 $A C$ 的长为（）（单位： $cm$ ）

A、 $600 π$ B、 $\frac{100}{3} π$ C、 $\frac{10}{3} π$ D、 $\frac{5}{3} π$

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3、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 相交于点 $A$ ， $B$ ， $△ A O B$ 面积的最小值为 $\frac{1}{2}$ （ $O$ 为坐标原点）.按照如下方式依次构造点 $F_{n} (n \in N^{*})$ ： $F_{1}$ 的坐标为 $(p, 0)$ ，直线 $A F_{n}$ ， $B F_{n}$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ，直线 $A_{n} B_{n}$ 与 $x$ 轴的交点为 $F_{n + 1}$ ，设点 $F_{n}$ 的横坐标为 $x_{n}$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、数列 $\{x_{n}\}$ 中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.

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4、甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投 $2$ 个球，每投进一个球记 $1$ 分，未投进记 $- 1$ 分.

(1)、求甲在一轮投篮结束后的得分不大于 $0$ 的概率；

(2)、记甲、乙每轮投篮得分之和为 $X$ .
①求 $X$ 的分布列和数学期望；
②若 $X > 0$ ，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续 $n (n \geq 8)$ 轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为 $Y$ ，当 $n$ 为何值时， $P (Y = 8) \geq P (Y = k) (0 \leq k \leq n, k \in N)$ 恒成立？

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5、已知函数 $f (x) = x ln x - a x^{2} + 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a < 0$ ，证明： $f (x) > 0$ .

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6、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ .

(1)、求证；平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A C = 5$ ， $B C = 12$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为100，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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7、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 ${sin}^{2} A = {sin}^{2} B + {sin}^{2} C + sin B sin C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $∠ B A C$ 的平分线交边 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = 4$ ， $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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8、条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设 $X$ ， $Y$ 是离散型随机变量，则 $X$ 在给定事件 $Y = y$ 条件下的期望为 $E (X |Y = y) =$ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i} |Y = y)$ $= \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot \frac{P (X = x_{i} ， Y = y)}{P (T = y)}$ ，其中 $\{x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}\}$ 为 $X$ 的所有可能取值集合， $P (X = x, Y = y)$ 表示事件“ $X = x$ ”与事件“ $Y = y$ ”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设 $ξ$ 表示第一次抽中奖品时的抽取次数， $η$ 表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则 $E (ξ |η = 4) =$ .

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9、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (1, 2)$ ，则 $cos 2 α =$ .

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10、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极小值一定小于 $- 1$ B、函数 $y = f (f (x))$ 有6个互不相同的零点 C、若对于任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq a x - 1$ ，则 $a$ 的值为 $- 1$ D、过点 $(0, - 2)$ 有且仅有1条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切

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11、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与椭圆相交于 $P, Q$ 两点，则（）

A、 $|F_{1} F_{2}| = 1$ B、 $|P Q| \leq 4$ C、当 $F_{2}, P, Q$ 不共线时， $△ F_{2} P Q$ 的周长为 $8$ D、设点 $P$ 到直线 $x = - 4$ 的距离为 $d$ ，则 $d = 2 |P F_{1}|$

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12、已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 的图象可由 $y = 2 cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到

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13、已知 $a, b, c \in (0, 4)$ ，且满足 $\frac{\sqrt{a} + 1}{2} = {cos}^{2} \frac{a}{2}$ ， $b e^{2 b} = 1$ ， $ln (c + 1) = cos c$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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14、已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为 $36 π$ ，若正四棱锥 $P - A B C D$ 的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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15、函数 $f (x) = \frac{1}{4} cosπ x \cdot (e^{x} - e^{- x})$ ， $x \in (- 4, 4)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16、一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去 $200$ 天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， …， $[90, 100]$ 分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：
根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（）

A、图中 $a$ 的值为 $0.005$ B、这 $200$ 天中有 $140$ 天的日销售量不低于 $80$ kg C、这 $200$ 天销售量的中位数的估计值为 $85$ kg D、店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能 $85 %$ 地满足顾客的需要（在 $100$ 天中，大约有 $85$ 天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为 $91$ kg

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17、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 边上，且 $\vec{B D} = \vec{D A}$ ， $\vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ，点 $F$ 为 $D E$ 中点，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ C、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{4} \vec{B C}$

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18、若双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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19、已知集合 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x |- a \leq x \leq a + 1\}$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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20、对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为 $a_{n}$ ；若n为奇数，则对 $3 n + 1$ 不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为 $a_{n}$ .若 $a_{n} = 1$ ，则称正整数n为“理想数”.

(1)、求20以内的质数“理想数”；

(2)、已知 $a_{m} = m - 9$ .求m的值；

(3)、将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列 $\{b_{n}\}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{7}{3} (n \in N^{*})$ .

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