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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 \sqrt{x} + b + 1$ .则下列说法正确的是（）

A、 $b = - 1$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 \sqrt{- x}$ C、若 $f (x)$ 在 $[m, n] (0 < m < n)$ 上单调递减，则 $f (x)$ 在 $[- n, - m]$ 上有最大值 $- n^{2} + 2 \sqrt{n}$ D、若 $g (x) = f (x) + 2, g (- m) = - 5$ ，则 $g (m) = 7$

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2、下列命题正确的是（）

A、已知集合 $M = {0, 1}$ ，则满足条件 $M \cup N = M$ 的集合 $N$ 的个数为3 B、已知集合 $A = \{0, 2 a + 1, a^{2} + 3 a + 1\}$ ，若 $- 1 \in A$ ，则实数 $a = - 2$ C、命题“ $\exists x \in R, 1 < f (x) \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R, f (x) \leq 1$ 或 $f (x) > 2$ ” D、设 $a, b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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3、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过的最大整数，则称 $y = [x]$ 为高斯函数．例如， $[- 2, 6] = - 3, [1, 2] = 1$ ，已知函数 $f (x) = \frac{2 x + 7}{4 x + 2} (x \geq 0)$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 $\{y |0 \leq y \leq 3\}$ B、 $\{y |\frac{1}{2} < y \leq \frac{7}{2}\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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4、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + 2 b = 2$ ，若 $3 t^{2} - t \leq \frac{b}{a} + \frac{2}{b}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2}{3}, 1]$ B、 $[- 1, \frac{2}{3}]$ C、 $[- \frac{4}{3}, 1]$ D、 $[- 1, \frac{4}{3}]$

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5、若关于 $x$ 的不等式 $(m + 2) x^{2} - (m + 2) x + 2 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, 6)$ B、 $(6, + \infty)$ C、 $(- 2, 6]$ D、 $[- 2, 6]$

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6、函数 $f (x) = \frac{2 | x |}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7、下列函数最小值为4的是（）

A、 $y = x + \frac{4}{x}$ B、 $y = x^{2} + \frac{4}{x^{2}}$ C、 $y = | x + 4 |$ D、 $y = (x + 4)^{2}$

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8、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (f (\frac{5}{4})) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $- 1$

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9、下列结论正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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10、已知集合 $A = {x ∣ - 3 \leq x \leq 1}, B = {x | | x ∣ \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 1}$ B、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 1}$ C、 ${x ∣ - 3 \leq x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 1 \leq x \leq 2}$

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11、已知集合 $S = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}, n \in N^{*})$ ，若对于任意 $x, y \in S, x + y$ 与 $|x - y|$ 至少有一个属于 $S$ ，则称 $S$ 为开心集.

(1)、分别判断集合 $A = \{1, 2, 3\}$ 与集合 $B = \{0, 1, 2\}$ 是否为开心集，并说明理由；

(2)、当 $n = 3$ 时，若 $4 \in S$ ，求开心集 $S$ ；

(3)、若集合 $S = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2024}\} (0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{2024})$ 为开心集，且 $S$ 中存在元素 $m$ ，使得 $S$ 中所有元素均为 $m$ 的整数倍，求 $\frac{a_{2024}}{a_{2}}$ 的最小值.

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12、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $(1, \frac{3}{2})$ 在椭圆上， $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $E$ 的左，右焦点，抛物线 $C$ 的顶点在原点，焦点与 $E$ 的右焦点重合.

(1)、求椭圆 $E$ 与抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、过焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于点 $M, N$ ，交抛物线 $C$ 于点 $A, B$ ， $P$ 为过点 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上异于 $F_{1}$ 的一点.
（i）若 $|A B| = \frac{7}{3} |M N|$ ，求直线 $l$ 的方程；
（ii）设 $P A, P B, P F_{2}$ 的斜率分别为 $K_{1}, K_{2}, K_{3}$ ，求 $\frac{K_{1} + K_{2}}{K_{3}}$ 的值.

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13、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B // C D$ ， $△ P C D$ 是边长为 $2$ 的正三角形，点 $A$ 在平面 $P C D$ 内的投影恰好是 $△ P C D$ 的中心 $G$ .

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $3 a_{1} + 2 a_{2} = 27$ ， $81 a_{2}^{2} = a_{3} a_{5}$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{n}$ ， $C_{n} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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15、已知圆 $C$ 过点 $A (- 5 ， - 1)$ 和 $B (2 ， 0)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过点 $(3 ， 4)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $l$ 的方程.

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，其左右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{7}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{7}, 0)$ ，点P是双曲线右支上的一点，点I为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心（内切圆的圆心）， $\overset{⃑}{P I} = x \overset{⃑}{P F_{1}} + y \overset{⃑}{P F_{2}}$ ，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ， $y = 3 x$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的半径为.

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17、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2024} =$ .

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，若 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，则 $C$ 的短轴长为.

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19、曲线 $Γ : y^{2} - 2 y = x^{3} + m x - 3$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线 $Γ$ 关于原点对称 B、曲线 $Γ$ 关于直线 $y = 1$ 对称 C、当 $m = 0$ 时，曲线 $Γ$ 上点的横坐标的取值范围为 $[\sqrt[3]{2}, + \infty)$ D、若曲线 $Γ$ 在第一象限内存在位于直线 $x = 1$ 左侧的点，则 $m > 1$

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20、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上三点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (1, 2)$ ， $C (x_{2}, y_{2})$ ， F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线的准线方程为 $x = - 1$ B、若 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = \vec{0}$ ，则 $2 |\vec{F B}| = |\vec{F A}| + |\vec{F C}|$ C、若 $A, F, C$ 三点共线，则 $y_{1} y_{2} = - 1$ D、若 $|A C| = 6$ ，则 $A C$ 的中点到 $y$ 轴距离的最小值为2

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