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相关试卷

1、设 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 6 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{5}$

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2、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 8 < 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ {log}_{2} (x + 1) > 1\}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 $[1, 2] \cup [3, + \infty)$ B、 $(- 2, - 1) \cup [4, + \infty)$ C、 $(1, 2]\cup[4, + \infty)$ D、 $(1, 2) \cup (4, + \infty)$

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $c = 4, C = \frac{π}{3}$ ， $sin B cos A = sin 2 A$ ，且 $b^{2} + c^{2} \neq a^{2}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆直径为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ B、 $b = 2 a$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $3$ D、 $△ A B C$ 的周长为 $4 + 4 \sqrt{3}$

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4、已知函数 $f (x) = sin x$ ， $g (x) = cos x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (g (x))$ 为奇函数 B、 $g (f (x))$ 为偶函数 C、 $f (g (x))$ 在 $[0, π]$ 上仅有1个零点 D、 $g (f (x))$ 的最小正周期为 $π$

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5、中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛､方垛､刍甍多､刍童垛等的公式.我们把公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 称为“一阶等差数列”，若数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是“一阶等差数列”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 是“二阶等差数列”.定义：若数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是“ $k$ 阶等差数列”，则称原数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k + 1$ 阶等差数列”.例如：数列 $1, 3, 6, 10$ ，它的后项与前项之差组成新数列 $2, 3, 4$ ，新数列 $2, 3, 4$ 是公差为1的等差数列，则称数列 $1, 3, 6, 10$ 为二阶等差数列.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 4$ ，且 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 (a_{n} + 1) (n \geq 2)$ ，求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列；

(2)、若三阶等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前4项依次为 $1, 4, 10, 20$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $k$ 阶等差数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式为 $c_{n} = {(2 n - 1)}^{4}$ .
①求 $k$ 的值；
②求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有公共焦点 $F$ ，且 $p = 4 b$ .

(1)、若抛物线的方程为 $y^{2} = 8 \sqrt{3} x$ .
①求双曲线 $C$ 的方程；
②设直线 $l : x = \frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $P (6, 0)$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，点 $Q$ 在直线 $l$ 上，且直线 $A Q ⊥ y$ 轴，证明：直线 $B Q$ 恒过定点.

(2)、过 $F$ 的直线 $m$ 与抛物线 $Γ$ 交于 $M, N$ 两点，与 $C$ 的两条渐近线交于 $S, T$ 两点（均位于 $y$ 轴右侧）.若实数 $λ$ 满足 $λ (\frac{1}{|O S|} + \frac{1}{|O T|}) = |\frac{1}{|M F|} - \frac{1}{|N F|}|$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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7、如图，在圆锥 $P O$ 中， $A C$ 为底面圆 $O$ 的一条直径， $B, D$ 为底面圆周上不同于 $A, C$ 的两点，圆锥母线长为 $\sqrt{5}, A C = 2, ∠ B A C = 30^{\circ}$ .

(1)、若 $A D = 1$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，证明： $A D$ ∥ $l$ ；

(2)、若 $A D$ 与平面 $P C D$ 所成角的正切值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A D$ 的长.

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 2) x + 2 a ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} sin C, - cos A)$ ， $\vec{n} = (a, c)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，且 $b^{2} + c^{2} = 2 \sqrt{3} b c$ ，求 $a$ .

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10、祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，若直线 $y = 0$ 与 $y = 2$ 在第一象限内与双曲线 $C$ 及其渐近线围成图形 $O A B N$ （如图1），则它绕 $y$ 轴旋转一周所得几何体 $Ω$ 的体积为；由双曲线 $C$ 和两直线 $y = \pm 2$ 围成的封闭图形绕 $y$ 轴旋转一周后得到几何体 $Γ$ （如图2），则 $Γ$ 的体积为.

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11、已知曲线 $y = x + ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a + 4) x + 1$ 只有一个公共点，则 $a =$ .

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12、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域是.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，总存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $S_{n} = a_{m}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列”.以下结论中正确的是（）

A、若 $a_{n} = n$ ，则 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列” B、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列” C、设 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，当 $a_{1} = 1$ ，公差 $d < 0$ 时，若 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列”，则 $d = - 1$ D、对任意的等差数列 $\{a_{n}\}$ ，总存在两个“回归数列” $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} + c_{n} (n \in N^{*})$

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14、已知不等式 $ln x \leq x - 1$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立（当且仅当 $x = 1$ 时等号成立），下列不等式正确的是（）

A、 $ln x \geq 1 - \frac{1}{x} (x > 0)$ B、 $\frac{3}{7} < ln 7 - ln 4 < \frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2025} > ln 2025$ D、 $\frac{1}{7^{7}} + \frac{1}{7^{5}} + \frac{3}{7^{4}} + \frac{5}{7^{3}} + \frac{5}{7^{2}} + \frac{3}{7} + 2 < e$

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15、下列说法正确的有（）

A、已知随机事件 $A, B$ 的概率不为0，若 $A$ 和 $B$ 相互独立，则 $A$ 和 $B$ 一定不互斥 B、若 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = - 0.2 x + 0.8$ ，则样本点 $(2, - 1)$ 的残差为1.4 C、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的平均数为2，方差为12，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 16$ D、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (4, \frac{1}{9})$ ，则 $E (2 X + 1) = 9, D (2 X + 1) = \frac{4}{9}$

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16、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}, ∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，则 $| P A | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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17、已知圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面是以 $A$ 为顶点的等腰三角形，若 $A, B, C$ 分别是该三角形的三个内角，则 $tan \frac{B}{3} + tan \frac{2 B}{3} + tan B + tan \frac{B}{3} tan \frac{2 B}{3} tan B =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、0 D、1

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18、若函数 $f (x)$ 有唯一零点，且 $f (x + 1) = x^{2} - 1 + a (e^{x} + e^{- x})$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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19、某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为 $1 : 2 : 2$ ，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有 $\frac{2}{3}$ 的人投票给1号菜品，教工代表中有 $\frac{1}{4}$ 的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（）

A、 $\frac{8}{21}$ B、 $\frac{13}{21}$ C、 $\frac{4}{21}$ D、 $\frac{3}{7}$

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20、已知直线 $m, n, l$ ，平面 $α, β$ ，若平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，且 $α \cap β = l$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $m$ $∥$ $α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m \subset α$ ，则直线 $m$ 必垂直于平面 $β$ 内的无数条直线

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