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相关试卷

1、下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，则 $|\vec{A B}| = |\vec{C D}|$ ，且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点一定构成平行四边形 B、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ C、对任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，都有 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $Q$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，若 $\vec{A Q} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$ ，则 $△ A B Q$ 的面积是 $△ A C Q$ 的面积的2倍

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2、已知点 $P (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ 在角 $θ$ 的终边上，且 $θ \in [0, \frac{π}{2})$ ，则 $θ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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3、已知函数 $f (x) = - x^{3} + b x^{2} + c x$ 在 $x = - 2$ 处取得极值 $- 8$ .

(1)、求实数 $b$ ， $c$ 的值

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最大值和最小值

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\cos C = \frac{7}{8}$ ， $3 b = 4 a$ .

(1)、求 $c o s B$ 的值；

(2)、求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{n}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，若不等式 $T_{n} \leq λ (n \in N^{*})$ 恒成立，则实数 $λ$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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6、已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x + m (m \in R)$ 的图象过原点.

(1)、求 $m$ 的值及 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, t]$ 上单调递增，求正数 $t$ 的最大值.

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ A B C = 60 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ，点 $E, F$ 为 $P C, P A$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、二面角 $E - B D - F$ 的大小；

(3)、线段 $P C$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与平面 $B D F$ 所成夹角为 $\frac{π}{6}$ ．若存在，求出 $M$ 点的位置；若不存在，请说明理由．

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8、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 关于直线 $m x + 2 y - 1 = 0$ 对称，则实数 $m =$ （）

A、6 B、4 C、3 D、7

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9、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 11 x + 24 \leq 0\}$ ，记 $A \cap B = S$ ， $A \cup B = T$ .

(1)、求集合S，T；

(2)、对于只含有四个正整数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的集合P，若 $|x_{1} x_{2} - x_{3} x_{4}|$ 的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”.
（ⅰ）若 $k = 1$ ，求“1阶积差四元集”C，且满足 $C \subseteq S$ ；
（ⅱ）若 $k = 2$ ，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得 $M \cup N = T$ ？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由.

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10、已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - a^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{a^{x} + a^{- x}}{2}$ ，其中 $a > 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的奇偶性；

(2)、证明： $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) g (y)$ ；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [0, 1]$ ，存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，恒有 $5 f (x_{1}) g (x_{2}) \geq f (2 x_{1} + 2 x_{2}) + f (2 x_{1} - 2 x_{2})$ 成立，求a的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \sqrt{3} \cos^{2} \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m$ 在 $[0, π]$ 上有两个零点，求m的取值范围.

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12、声强级 $L_{I}$ （单位：dB）由公式 $L_{I} = k \lg I + b$ 给出，其中I为声强（单位： $W / m^{2}$ ），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为 $1 W / m^{2}$ ，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为 $10^{- 6} W / m^{2}$ ，此时声强级为60dB.

(1)、求k，b的值；

(2)、实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为 $10^{- 2} W / m^{2}$ ，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减.

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14、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称，且在 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上有且只有两条对称轴，则 $ω =$ .

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15、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 \geq 0$ ”的否定是.

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16、 $4^{- \frac{1}{2}} + \log_{4} 8 =$ .

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17、已知 $f (x) = \log_{2} (\cos 2 x + 2 |\sin x|)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{π}{2}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上的所有零点和为 $3 π$

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18、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{x} - 1, 0 < x \leq 1 \\ 1 - \frac{1}{x}, x > 1 \end{array}$ .若 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则（）

A、 $0 < x_{1} < \frac{1}{2}$ B、 $2 x_{1} x_{2} = x_{1} + x_{2}$ C、 $x_{1} x_{2} > 1$ D、 $x_{1} + x_{2} > 2$

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19、下列函数中，为奇函数且在 $(0, 1)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = e^{x}$

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20、若关于x的不等式 $(m - 1) \sin^{2} x - m \sin x + m - 1 > 0$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恒成立，则m的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(2, 4]$ D、 $[3, 4]$

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