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相关试卷

1、以 $\max \{a, b, c\} (a, b, c \in R)$ 表示集合 $\{a, b, c\}$ 中最大的数，设 $0 < x < y < z < 1$ ，已知 $y \geq 3 x$ 或 $3 x + y \leq 1$ ，则 $\max \{y - x, z - y, 1 - z\}$ 的最小值为.

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2、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ 有两个实数根，一个根比 $1$ 小，另一个根比 $1$ 大，则实数 $m$ 的取值范围为.

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3、已知扇形的半径为1，圆心角为 $\frac{π}{6}$ ，则该扇形的弧长为.

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4、已知 $f (x) = \sin 3 x - \sin 2 x$ ， $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内的两个零点，则（）

A、 $\sin x_{1} \cdot \sin x_{2} > \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\cos x_{1} \cdot \cos x_{2} = - \frac{1}{4}$ C、 $\sin x_{1} + \sin x_{2} < \frac{\sqrt{11}}{2}$ D、 $\cos x_{1} + \cos x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$

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5、下列函数中，满足 $f (2 x) = 2 f (x)$ 的是（）

A、 $f (x) = |x|$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = x + 1$ D、 $f (x) = - x$

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6、已知实数 $a, b, c$ 满足 $2^{a} = 3^{b - 1} = 5^{c - 2}$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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7、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

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8、“ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 1 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、函数 $f (x) = 2^{x}$ 与 $g (x) = \log_{2} x$ 的图象关于（）

A、 $x$ 轴对称 B、 $y$ 轴对称 C、坐标原点对称 D、直线 $y = x$ 对称

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10、下列函数中，与函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 有相同定义域的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \ln x$ D、 $y = \sqrt{- x}$

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11、已知集合 $A = \{2, 3, 4\}, B = \{x |1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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12、在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 对应的边分别为 $a, b, c, b sin A + a tan A cos B = 2 a sin C$ .

(1)、求A；

(2)、奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R$ ， ${(x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3})}^{2}$ $\leq (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) (y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2})$ ，当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3.
（ⅰ）求： $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) [\frac{2}{1 - \cos 2 A} + \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{2} - B)} + \frac{1}{\sin^{2} (π + C)}]$ 的最小值；
（ⅱ）若P是 $△ A B C$ 内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设 $△ A B C$ 的面积为S，求 $T = \frac{|A B|}{|P D|} + \frac{9 |B C|}{|P E|} + \frac{|A C|}{|P F|}$ 的最小值.

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13、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} (x + \frac{π}{6}) - 1$ .
（1）求 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若函数 $g (x) = f (x) - k$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{13 π}{12}]$ 上有三个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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14、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 $A$ 、 $B$ 的距离之比为定值 $λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2, 0)$ 、 $B (2, 0)$ ，点 $P$ 满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = 3$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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15、已知 $a, b, c$ 分别是 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边， $b^{2} + c^{2} = a c \cos C + c^{2} \cos A + a^{2}$ ，且 $S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $Δ A B C$ 周长的最小值为．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边长为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ，且 $A D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $c = 2$ ，则 $B D = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ B、若 $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径是 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} b c = b + c$ D、 $b c \geq \frac{16}{3}$

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17、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上一动点，则 $C P + P A_{1}$ 的最小值是

A、 $\sqrt{26}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{37} + 1$ D、 $6 + \sqrt{2}$

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18、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $cos C sin (A - B) = cos B sin (C - A)$ ，则角 $A$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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19、复数 $z = \frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数为（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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20、如图，几何体 $O A B - O_{1} A_{1} B_{1}$ 是圆柱的四分之一部分，其中底面OAB是半径为2的扇形，母线长为4，C是 $O O_{1}$ 的中点，M为 $A B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $C M / /$ 面OAB；

(2)、若P在弧 $\overset{⌢}{A B}$ 中点，求平面ACM与平面PCM所成角的正弦值；

(3)、若P是弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的动点，Q是弧 $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ 上的动点，且 $∠ A O P + ∠ A_{1} O_{1} Q = \frac{π}{2}$ ，求直线 $O A_{1}$ 与直线PQ所成角余弦值的最大值．

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