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相关试卷

1、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C,$ $P A ⊥$ 平面 $P B C$ .

(1)、求证： $P B ⊥ B C$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $A B = 2,$ $B C = \sqrt{2}$ ，求 $P A$ .

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{1 + sin A}{cos A} = \frac{1 + sin B}{cos B}$ .

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、设 $A B = 1$ ，且 $D$ 是边 $B C$ 的中点，求当 $∠ C A D$ 最大时， $△ A B C$ 的面积.

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3、中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段
态度
合计
不喜欢喝茶
喜欢喝茶
35岁以上（含35岁）
30
30
60
35岁以下
25
15
40
合计
55
45
100

(1)、依据小概率值 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？

(2)、以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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4、已知过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (2, 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在第一象限），以 $A B$ 为直径的圆 $E$ 与抛物线 $C$ 的准线相切于点 $D$ .若 $|A D| = \sqrt{3} |B D|,$ $O$ 为坐标原点，则 $△ A O B$ 的面积为.

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5、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) + cos ω x (ω > 0), f (x_{1}) = 0, f (x_{2}) = \sqrt{3}$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω =$ .

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6、已知实数 $a, b, c$ 满足 $3^{a} = 6^{b} = c$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $c =$ .

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7、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、 $f^{2} (x) - g^{2} (x) = 1$ B、对任意实数 $x, y, g (x + y) g (x - y) = g^{2} (x) + g^{2} (y)$ C、 $f (2 x) = f^{2} (x) + g^{2} (x)$ D、若直线 $y = t$ 与函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > ln (1 + \sqrt{2})$

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8、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 都是复数，下列正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{1} z_{2} \in R$ B、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$

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9、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} + 1$ ，且 $a_{1} = 0$ ，则 $|S_{30}|$ 的最小值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10、已知某正三棱柱外接球的表面积为 $4 π$ ，则该正三棱柱体积的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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11、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} + a, x \leq 0 \\ - ln (x + 1) + a, x > 0 \end{array}$ ，在 $R$ 上没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup \{0\}$ C、 $[1, + \infty) \cup \{0\}$ D、 $(1, + \infty) \cup \{0\}$

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12、甲､乙､丙､丁､戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（）

A、36种 B、48种 C、54种 D、64种

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13、若 $tan α = 2 tan β, sin (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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14、已知平面向量 $\vec{a} = (- \sqrt{3}, - 1), \vec{b} = (1, 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- 1$

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15、以 $y = \pm 2 x$ 为渐近线的双曲线可以是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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16、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}, B = \{x \in N ∣ 2 - x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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17、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ${(\sin B + \sin C)}^{2} = \sin^{2} A + \sin B \sin C$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b + c = 5$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求a的值．

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18、已知复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，以下结论正确的是（）

A、 $z^{2025}$ 是纯虚数 B、 $|z + i| = 2$ C、 $z \cdot \bar{z} = - 1$ D、在复平面内，复数 $\bar{z} + z \cdot i$ 对应的点位于第三象限

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19、已知 $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c；

(1)、若 $b = 4$ ， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $A = 120 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $a^{2} - b^{2} - c^{2} - b c = 0$ ，求角A的值.

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20、已知函数 $f (x) = x - ln (x + a)$ 的最小值为0，其中 $a > 0$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意的 $x \in [0, + \infty)$ ，有 $f (x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{2 i - 1} - \ln (2 n + 1) < 2 (n \in N^{*})$ ．

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年龄段	态度		合计
年龄段	不喜欢喝茶	喜欢喝茶	合计
35岁以上（含35岁）	30	30	60
35岁以下	25	15	40
合计	55	45	100

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828