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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x ∣ 2^{x} > 4\}$ ，集合 $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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2、如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数 $y = \sqrt{3} \sin ω x (ω > 0)$ 图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、3 D、2

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3、函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{3 + x}}$ 的定义域为.

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4、已知在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，各二项式系数和为 $512$ ．

(1)、求展开式中含 $\frac{1}{x^{5}}$ 的项；

(2)、求展开式中系数绝对值最大的项．
（参考数据： $2^{9} = 512$ ）

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 3]$ 中的最大值．

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6、为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第 $n$ 天选择米饭套餐的概率为 $P_{n}$ ．
（i）证明： $\{P_{n} - \frac{2}{5}\}$ 为等比数列；
（ii）证明：当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq \frac{5}{12}$ ．

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7、如下图是 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[- 2, - 1]$ 上单调递增 B、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点； C、 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上单调递增，在区间 $[2, 4]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取最大值

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8、如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数 $y = k \sqrt{x} (k > 0)$ 的图象的一部分，后一段DBC是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ， $x \in [4, 8]$ )的图象，图象的最高点为 $B (5, \frac{8 \sqrt{3}}{3})$ ，且 $D F ⊥ O C$ ，垂足为点F．

(1)、求函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $x \in [4, 8]$ )的解析式；

(2)、若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为 $\frac{4}{3}$ ，点E在OC上，求儿童乐园的面积．

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9、已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} {c o s}^{2} x - \sqrt{3}$ ．
$(1)$ 求函数 $f (x)$ 的单调减区间；
$(2)$ 将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{8})$ 上的值域．

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10、已知 $\sin \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2} = 0$ .
（1）求 $\tan x$ 的值；
（2）求 $\frac{\cos 2 x}{\cos (\frac{5 π}{4} + x) \sin (π + x)}$ 的值.

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11、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $c = 2 b cos A$ ， $a sin A - b sin B = c (sin C - sin B)$ ，则角 $B$ 为.

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12、已知向量 $\vec{a} = (3, m)$ ， $\vec{b} = (n, 1)$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b} = (- 1, 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} // (3 \vec{a} + 2 \vec{b})$ B、 $(2 \vec{a} - 5 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ C、 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $|\vec{a}| = \sqrt{5} |\vec{b}|$

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13、如图是函数 $y = 2 \sin (ω x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象，那么（）

A、 $ω = \frac{10}{11}, φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = \frac{10}{11}, φ = - \frac{π}{6}$ C、 $ω = 2, φ = \frac{π}{6}$ D、 $ω = 2, φ = - \frac{π}{6}$

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14、已知 $\frac{tan α}{tan α - 1} = - 1$ ，则 ${sin}^{2} α + sin α cos α + 2 =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{13}{5}$

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15、四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ A = 90^{\circ}, A B = 2 A D = 2 D C, \vec{B C} = 3 \vec{E C}, \vec{A E} = 2 \vec{A F}$ ，则下列表示正确的是（）

A、 $\vec{C B} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{C F} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\vec{B F} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

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16、已知f （x）是定义在R上的偶函数，且当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $f (x) = x^{2} - \sin x$ ，则当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} + \sin x$ B、 $- x^{2} - \sin x$ C、 $x^{2} - \sin x$ D、 $- x^{2} + \sin x$

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17、设 $z = 3 - 2 i$ ，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、下面命题中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $|\vec{a}| = 0$ ，则 $\vec{a} = 0$

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19、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，若存在正整数 $T$ ，使得从数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $N$ 项起，恒有 $a_{n + T} = a_{n} (n \geq N)$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为第 $N$ 项起的周期为 $T$ 的周期数列．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = 3 (a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2})$ ，且 $a_{n} a_{n + 1} \neq 3$ ，证明：3是 $\{a_{n}\}$ 的一个周期．

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}, b_{1} = - a, b_{2} = b$ （其中 $a, b \geq 0$ ， $a, b$ 不全为0）， $b_{n + 2} = |b_{n + 1}| - b_{n} (n \geq 1)$ ，证明：存在正整数 $N$ ，使得 $n \geq N$ 时， $b_{n + T} = b_{n} (n \geq N)$ 成立，并求出满足条件的一个周期 $T$ ．

(3)、已知数列 $\{c_{n}\}, c_{1} = 3, c_{n + 1} = \frac{3 + c_{n}}{1 - 3 c_{n}}$ ，求证： $\{c_{n}\}$ 不是周期数列．

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20、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(2, 0)$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $P (4, 0), G (1, 0)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ （不与 $x$ 轴重合）交椭圆 $E$ 于 $A, B$ ，连接 $B G$ 交 $E$ 于点 $C$ ，连接 $A C$ ，直线 $A C$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ．
（i）求 $\frac{|A H|}{|A C|}$ 的值；
（ii）若点 $A$ 在线段 $B P$ 上，求 $\frac{S_{△ G C P}}{S_{△ G B P}}$ 的取值范围．

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