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相关试卷

1、已知集合 $A = \{1, 2, 3, \dots \dots, 2 n, 2 n + 1\} (n \in N^{*})$ .

(1)、集合 $B \subseteq A$ ，且 $B$ 中的任意三个不同的元素 $x$ ， $y$ ， $z$ 都有 $x + y \neq z$ .
（i）当 $n = 3$ 时，写出一个满足条件的恰有四个元素的集合 $B$ ；
（ii）对于任意给定的 $n (n \in N^{*}, n \geq 2)$ ，求集合 $B$ 中的元素个数的最大值.

(2)、已知集合P={C|C $⊑$ A}， $Q = \{C_{1}, C_{2}, \dots \dots, C_{k}\} \subseteq P$ ，且同时满足以下条件：① $\forall C_{i}$ ， $C_{j} \in Q$ ，都有 $C_{i} \cap C_{j} \neq \emptyset$ （其中 $i$ ， $j \in \{1, 2, \dots, k\}$ ， $i \neq j$ ）；② $\forall D \in ∁_{P} Q$ ， $\exists C_{s} \in Q$ ，使得 $D \cap C_{s} = \emptyset$ （其中 $s \in \{1, 2, \dots, k\}$ ）.求集合 $Q$ 中的元素个数 $k$ .

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

(1)、求证： $B C_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、若二面角 $A - A_{1} C_{1} - B_{1}$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且 $A B = 2 B C = 2$ ，求 $A C_{1}$ .

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3、如图所示的五面体 $A B C D E F$ 为《九章算术》中记载的羡除，它指的是墓道或隧道.其中 $E F ∥ A D ∥ B C$ ，四边形 $A D E F$ ， $A D C B$ ， $E F B C$ 均为等腰梯形，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A D C B$ ， $E F = 2$ ， $B C = 3$ ， $A D = 4$ ， $B C$ 和 $A D$ 间的距离为2， $E F$ 和 $A D$ 间的距离为4，则该羡除的体积为.

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4、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 和双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的焦点相同，则 $m =$ .

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5、已知函数 $f (x) = sin 2 x - 2 sin x$ ，则（）

A、 $f (2) + f (4) < 0$ B、当 $0 < x < 6$ 时， $f (x) \leq \frac{5}{2}$ C、当 $3 < x < 4$ 时， $f (x) > f (\frac{x}{3} + 2)$ D、当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) < f (\frac{17}{4} - x)$

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6、已知 $A (- a, 0)$ ， $B (a, 0)$ ， $l_{1} : a x - y = 0$ ， $l_{2} : a x + y = 0$ ，其中 $a > 1$ ，点 $P$ 为平面内一点，记点 $P$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，则下列条件中能使点 $P$ 的轨迹为椭圆的是（）

A、 $|P A| + |P B| = 4 a$ B、 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} = 4 a^{2}$ C、 $d_{1} + d_{2} = 4 a$ D、 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$

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7、观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有（）

A、 B、 C、 D、

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8、飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为 $X$ ，则 $E (X) =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x > 0 \\ x^{3} - 3 x + a, x \leq 0 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $(- \infty, 3]$

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10、已知 $\sin (α + β) = \frac{1}{2}$ ， $\sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- 5$

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11、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{2}$ ，取 $C D$ 中点 $M$ ，将 $△ A D M$ 和 $△ B C M$ 分别沿直线 $A M$ ， $B M$ 折叠，使 $D$ ， $C$ 两点重合于点 $P$ 得到三棱锥 $P - A B M$ ．

(1)、当 $A B = 2$ 时，求证： $A M ⊥ P B$ ；

(2)、若二面角 $A - P M - B$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ，是否存在 $A M$ 上一点 $E$ ，使得 $P E$ 与平面 $P B M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ？若存在，请求出 $E$ 点的位置；若不存在，请说明理由．

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12、如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $D D_{1}$ ， $B D$ 的中点， $G$ 为 $线段 B B_{1}$ 上一点.

(1)、求证： $E F ⊥ C F$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $C E F$ 的距离；

(3)、当 $B G$ 为何值时，平面 $C G F$ 与平面 $C E F$ 所成的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ .

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13、已知圆 $C$ 经过点 $(2, 2)$ ，且圆心为 $C (2, 0)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l_{1}$ 经过点 $A (4, 1)$ ，且 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(3)、求与圆 $C$ 关于直线 $x + y + 2 = 0$ 对称的圆 $D$ 的一般方程．

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14、已知 $△ A B C$ 的三个顶点为 $A (4 ， 0) ， B (0 ， 2) ， C (2 ， 6)$ .

(1)、求 $A C$ 边上的高 $B D$ 所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 边上的中线 $A E$ 所在直线的方程；

(3)、求三角形 $A B E$ 的面积.

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15、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $1$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B C$ ， $C D$ 的中点，点 $G$ 为线段 $A F$ 的中点.

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{A G}, \vec{E G}$ ；

(2)、求 $\vec{A G} \cdot \vec{A B}$ 的值；

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

(1)、求平面 $A_{1} B C$ 的一个法向量．

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的线面角的正弦值；

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17、著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如： $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 可以转化为平面上点 $M (x, y)$ 与点 $N (a, b)$ 之间的距离，结合．上述观点，可得 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$ 的最小值为．

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18、直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, 0, - 1)$ ，且l过点 $A (1, 1, 1)$ ，则点 $P (- 2, 4, 2)$ 到l的距离为.

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19、已知直线的方程为 $\frac{x}{- 5} + \frac{y}{6} = 1$ ，那么此直线在 $x$ 轴上的截距为．

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20、已知曲线 $Ω : x^{2} + y^{2} = |x| + |y|$ ，点 $P (a, b)$ 在曲线 $Ω$ 上，则下列结论正确的是（）

A、当 $b = 0$ 时， $a = 1$ B、当 $x > 0, y > 0$ 时，曲线为圆心为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 圆的一部分 C、曲线 $Ω$ 有4条对称轴，且围成的图形面积为 $π + 2$ D、当点 $P (a, b)$ 在第四象限， $\frac{b}{a - 2}$ 的最大值是1

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