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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，若 $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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2、数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）

A、曲线 $C$ 围成的图形有 $6$ 条对称轴 B、曲线 $C$ 围成的图形的周长是 $4 \sqrt{2} π$ C、若 $T (a, b)$ 是曲线 $C$ 上任意一点， $|4 a + 3 b - 18|$ 的最小值是 $11 - 5 \sqrt{2}$ D、曲线 $C$ 上的任意两点间的距离不超过 $6$

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3、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x + 1$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $1 - \frac{1}{e}$ B、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值点为 $x = 1$ C、存在实数 $a$ 使得函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增 D、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 $a \leq 1$

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (2, \sqrt{2})$ ，且C的右焦点为 $F (2, 0)$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、设过点 $(4, 0)$ 的一条直线与C交于 $P, Q$ 两点，且与线段AF交于点S．
（i）若 $|A S| = |F S|$ ，求 $|P Q|$ ；
（ii）若 $△ A P S$ 的面积与 $△ F Q S$ 的面积相等，求点Q的坐标．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}} - a (2 x - 1) - b$ ，其中 $a, b$ 是实数.

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 不具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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6、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B$ ，底面ABCD是边长为2的菱形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，平面 $B D D_{1} B_{1} ⊥$ 平面ABCD，点 $O_{1}$ ， O分别为 $B_{1} D_{1}$ ， BD的中点， $O_{1} B = 1$ ， $∠ A_{1} A B$ ， $∠ O_{1} B O$ 均为锐角.

(1)、求证： $A C ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若顶点 $A_{1}$ 到底面ABCD的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求二面角 $B - A A_{1} - C$ 的平面角的余弦值.

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7、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)、长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；

(2)、过点 $(3, 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

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8、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A B$ ， $B C$ 的中点，连接 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ ，将 $△ A D E$ ， $△ C D F$ ， $△ B E F$ 分别沿 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ 折起，使 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点重合，得到三棱锥 $O - D E F$ ，则该三棱锥的外接球半径 $R$ 与内切球半径 $r$ 的比值为.

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9、若直线 $(m + 1) x + m y - 2 m - 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，则弦长 $|M N|$ 的取值范围为.

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10、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则该椭圆的焦点到短轴端点的距离为.

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11、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $Q$ 为线段 $B B_{1}$ 的中点，动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} + μ \vec{A D_{1}}$ ，其中 $λ \in (0, 1), μ \in (0, 1)$ ，则（）

A、 $A P ⊥ B_{1} D$ B、平面 $A_{1} B C_{1} / /$ 平面 $A C P$ C、存在点 $P$ ，使得 $D P = \frac{1}{2}$ D、当 $λ + μ = 1$ 时，平面 $Q C P$ 截正方体的截面积为 $\frac{9}{8}$

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12、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 是直线 $l : x + y = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作圆的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别是 $A$ 和 $B$ ，则下列说法错误的是（）

A、圆 $C$ 上恰有一个点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ B、切线 $|P A|$ 长的最小值为1 C、四边形 $A C B P$ 面积的最小值为2 D、直线 $A B$ 恒过定点 $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与椭圆相交于 $M$ 、 $N$ 两点， $∠ M F_{2} N = 90^{\circ}$ ，且 $4 |F_{2} N| = 3 |F_{2} M|$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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14、某圆锥母线长为 $\sqrt{6}$ ，底面半径为2，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最大时，此截面将底面圆周所分成的两段弧长之比（较短弧与较长弧之比）为（）

A、 $1 : 1$ B、 $1 : 2$ C、 $1 : 3$ D、 $1 : 5$

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为a的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ．若 $P A = a$ ，则直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成的角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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16、已知点 $A (0, 1)$ 、 $B (1, 1)$ ，设过点 $P (0, - 1)$ 的直线 $l$ 与 $△ A O B$ 的边 $A B$ 交于点 $M$ （其中点 $M$ 异于 $A$ 、 $B$ 两点），与边 $O B$ 交于 $N$ （其中点 $N$ 异于 $O$ 、 $B$ 两点），若设直线 $l$ 的斜率为 $k$ .

(1)、试用 $k$ 来表示点 $M$ 和 $N$ 的坐标；

(2)、求 $△ O M N$ 的面积 $S$ 关于直线 $l$ 的斜率 $k$ 的函数关系式；

(3)、当 $k$ 为何值时， $S$ 取得最大值？并求此最大值.

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17、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2 A A_{1} = 2 C D = 2$ ， $A_{1} C = 3$ ， $A B // C D$ ．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面 $A A_{1} D$ 与平面 $A_{1} D C$ 夹角的余弦值．

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18、在锐角 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且 $(b - a) (b + a) + a c \cos B = \frac{2 \sqrt{3}}{3} S$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求S的取值范围．

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19、为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图.
（1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；
（3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率.

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20、已知两直线 $l_{1} : 3 x + y - 9 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x - y - 1 = 0$ 的交点为 $P$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $P$ 且与直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、若圆 $C$ 过点 $(- 2,5)$ 且与 $l_{1}$ 相切于点 $P$ ，求圆 $C$ 的标准方程．

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