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相关试卷

1、在等边三角形 $A B C$ 的三边上各取一点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，满足 $D E = 3$ ， $D F = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ D E F = 90 °$ ，则三角形 $A B C$ 的面积的最大值是．

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2、已知集合 $A = \{(x, y) |y^{2} = 4 x\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x\}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为.

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = f (2024)$ ，且 $f (2 x + 1)$ 是奇函数，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 B、 $f (0) = f (4)$ C、 $f (2) = 1$ D、若 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} i f (i - \frac{1}{2}) = 0$

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4、若 $P$ 是双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 2$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点，则下列结论中正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的虚轴长为 $\sqrt{2}$ B、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 C、 $|P F_{1}|$ 的最小值是 $2 - \sqrt{2}$ D、双曲线 $C$ 的焦点到其渐近线的距离是2

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5、142857被称为世界上最神秘的数字， $142857 \times 1 = 142857, 142857 \times 2 = 285714, 142857 \times 3 = 428571, 142857 \times 4 = 571428,$ $142857 \times 5 = 714285, 142857 \times 6 = 857142$ ，所得结果是这些数字反复出现，若 $a = e^{0.142857}, b = \frac{ln 1.285714}{2} + 1, c = \sqrt{1.285714}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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6、当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = cos x$ 与 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的交点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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7、已知 $α, β, γ$ 是三个不重合的平面，且 $α \cap γ = l, β \cap γ = m$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $l ∥ m$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ⊥ β, γ ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $l ⊥ m$ ，则 $α ⊥ β$

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则

A、a²=2b² B、3a²=4b² C、a=2b D、3a=4b

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9、“向量”是近代数学中最重要的概念之一，由n个实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 所组成的有序实数组称为 $n$ 维向量，记作 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，特别地， $\vec{0} = (0, 0, \dots, 0)$ 称为零向量，所有 $n$ 维向量组成的集合记为 $R^{n} = \{\vec{a} ∣ \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), a_{i} \in R, i = 1, 2, \dots, n\}$ ．设 $λ \in R, \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，定义加法和数乘分别为： $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n}), λ \vec{a} = (λ a_{1}, λ a_{2}, \dots, λ a_{n}) .$ 对一组向量 $\vec{m_{1}}, \vec{m_{2}}, \dots, \vec{m_{s}} (s \in N^{*}, s \geq 2)$ ，若存在一组不全为零的实数 $λ_{1}, λ_{2}, \dots λ_{s}$ ，使得 $λ_{1} {\vec{m}}_{1} + λ_{2} \vec{m_{2}} + \dots + λ_{s} \vec{m_{s}} = \vec{0}$ ，则称这组向量线性相关；否则，称为线性无关．

(1)、若 $n = 3$ ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由；
① $\vec{a} = (1, 1, 1), \vec{b} = (3, 3, 3)$ ；
② $\vec{a} = (1, 1, 2), \vec{b} = (3, 3, 6), \vec{c} = (2, 4, 5)$ ；

(2)、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 线性无关，判断 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ 是线性相关还是线性无关，并说明理由；

(3)、已知 $t (t \geq 2)$ 个向量 $\vec{m_{1}}, \vec{m_{2}}, \dots, {\vec{m}}_{t}$ 线性相关，但其中任意 $t - 1$ 个向量都线性无关，证明：
①如果存在等式 $λ_{1} {\vec{m}}_{1} + λ_{2} {\vec{m}}_{2} + \dots + λ_{t} {\vec{m}}_{t} = \vec{0} (λ_{i} \in R, i = 1, 2, \dots, t)$ ，则这些系数 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{t}$ 或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式 $λ_{1} \vec{m_{1}} + λ_{2} \vec{m_{2}} + \dots + λ_{t} \vec{m_{t}} = \vec{0}, μ_{1} \vec{m_{1}} + μ_{2} \vec{m_{2}} + \dots + μ_{t} \vec{m_{t}} = \vec{0}$ $(λ_{i} \in R, μ_{i} \in R, i = 1, 2, \dots, t)$ 同时成立，其中 $μ_{1} \neq 0$ ，则 $\frac{λ_{1}}{μ_{1}} = \frac{λ_{2}}{μ_{2}} = \dots = \frac{λ_{t}}{μ_{t}}$ ．

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, D, E$ 分别为边 $B C$ 上的点，已知 $a = 3$ ，且 $\sqrt{3} \sin B + 3 \cos B = c$ ，

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $b + c = 5$ ，求线段 $A D$ 的长度；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $E$ 为 $B C$ 中点，求线段 $A E$ 的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = \sqrt{6} \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin^{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，关于 $x$ 的不等式 $m f (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) + f (x + \frac{π}{6}) \geq 4 \sqrt{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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12、如图，已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B = 2, A_{1} B_{1} = 1$ ，点 $M$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点，

(1)、若 $\vec{A N} = 3 \vec{N B}$ ，证明 $M N //$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 2$ ，求正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积．

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13、已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} \cos θ, \sin θ), \vec{b} = (1, - 2)$ ，

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $3 \sin^{2} θ + \cos^{2} θ$ 的值；

(2)、若 $θ = 150^{°}$ ，且 $(t \vec{a} + \vec{b}) // (2 \vec{a} - 3 \vec{b})$ ，求 $t$ 的值．

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14、已知圆台的上下底面半径分别为 $\frac{\sqrt{3}}{3}, 2 \sqrt{3}$ ，侧面积为 $\frac{70}{3} π$ ，在圆台内部放置一个正四面体，使其可以任意转动，则该正四面体的体积的最大值为．

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15、在复数范围内分解因式： $x^{2} - 2 x + 2 =$ .

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为.（用坐标表示）

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17、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为线段BC上的点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，过点 $D$ 的直线分别与AB，AC所在直线相交于点P，Q，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B}, \vec{A Q} = μ \vec{A C}, (λ > 0, μ > 0)$ ，则（）

A、 $3 λ + μ = 4 λ μ$ B、 $λ μ$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ C、 $λ + μ$ 的最小值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $λ + μ$ 的最小值为 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、已知空间中有直线 $a, b, c,$ 有平面 $α, β, γ$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a ⊥ b$ ， $c ⊥ b$ ，则 $a // c$ B、若 $a // γ$ ， $b // γ$ ，则 $a // b$ C、若 $α \cap β = a, b \subset α, c \subset β$ ，且 $b // c$ ，则 $a // b // c$ D、若 $α // β$ ， $β // γ$ ，则 $α // γ$

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19、设 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O M}$ ，则点 $M$ 是 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、内心 C、垂心 D、外心

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20、已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $1 \leq | z + 1 + 2 i | \leq 2$ ，则 $| z - 2 + 3 i |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{10} + 2$ B、 $\sqrt{10} - 2$ C、 $\sqrt{10} + 1$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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