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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m$ 在定义域内恰有2个零点，求 $m$ 的取值范围；

(3)、记点 $O (0, 0)$ ，当 $t > 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (t, f (t))$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，求三角形 $A O B$ 面积 $S (t)$ 的最大值.

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2、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D$ ，直线 $P A$ 与 $B C$ 所成的角的余弦值等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $P B = 3$ ，点 $M$ 为线段 $P B$ 上的动点， $N$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、若直线 $A M$ 和 $D N$ 相交，求证： $M N / / B C$ ；

(2)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、当三棱锥 $A - B M D$ 的体积最大值时，求此时三棱锥 $A - B M D$ 外接球的体积.

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3、某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下 $2 \times 2$ 列联表：
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
女生
16
30
合计
21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.

(1)、请完成上面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（计算结果精确到小数点后三位）

(2)、将频率视为概率，从学校不经常锻炼的学生中抽取4人，设抽取的4人中男生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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4、已知定义在实数集 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \frac{1}{2} + \sqrt{f (x) - f^{2} (x)}$ ，则 $f (0) + f (2025)$ 的取值范围为．

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5、抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若 $F M ⊥ F N$ ，且 $|M F| = 10$ ，则 $|N F| =$ .

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6、已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ 的图象如图所示，则 $x_{1} \cdot x_{2} =$ .

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7、已知函数 $f (x) = \frac{\sin 2 x}{1 + 2 \cos^{2} x}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x + π) = f (x)$ B、 $f (x)$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, a)$ 上恰有 $2022$ 个极大值点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{6064}{3} π, \frac{6067}{3} π]$

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8、下列选项中，正确的命题是（）

A、已知随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、 ${(\frac{1}{2} x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为10. C、用 $χ^{2}$ 独立性检验进行检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系. D、样本相关系数 $|r|$ 越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.

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9、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10、已知 $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图所示，则实数 $x, y$ 满足的关系式可以为（）

A、 $|x - 1| - \log_{3} \frac{1}{y} = 0$ B、 $2^{x} - 1 = \frac{x^{3}}{y}$ C、 $2^{|x - 1|} - y = 0$ D、 $\ln |x| = y - 1$

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11、以模型 $y = c e^{k x} (c > 0)$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = ln y$ ，将其变换后得到经验回归方程 $z = 2 x - 1$ ，则 $k, c$ 的值分别是（）

A、 $- 2, e$ B、 $2, \frac{1}{e}$ C、 $- 2, \frac{1}{e}$ D、 $2, e$

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12、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {y ∣ y = - x + 1, x < 0}$ ，则（）

A、 $- 2 \in A \cup B$ B、 ${- 2, - 1} \subseteq A \cup B$ C、 ${1} \subseteq A \cap B$ D、 $2 \in A \cap B$

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13、已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 1 + 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-1 B、 $- i$ C、1 D、i

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14、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sin x \cdot \cos x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、 $f (α) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ， $α \in (- \frac{π}{8}, \frac{3π}{8})$ ，求 $\sin 2 α$ 的值；

(2)、对任意的 $x \in [\frac{π}{24}, \frac{π}{2}]$ ，都有 $|2 \sqrt{2} f (x) + \log_{2} k| \leq 2$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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15、将函数 $f (x) = sin (\frac{1}{2} x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 图象上每一点纵坐标不变，向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到的图象 $f (x) = sin \frac{1}{2} x$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ ．

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16、向量 $\vec{b} = (3, 4)$ 在向量 $\vec{a} = (2, 1)$ 方向上的投影向量的模为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} \sin 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ D、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称

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18、若 $α$ 是第一象限角，则下列结论一定成立的是（）

A、 $sin \frac{α}{2} > 0$ B、 $cos \frac{α}{2} > 0$ C、 $tan \frac{α}{2} > 0$ D、 $sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} < 0$

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19、已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积是（）

A、 $\frac{1}{2} {πcm}^{2}$ B、 $3 {πcm}^{2}$ C、 $\frac{3}{2} {cm}^{2}$ D、 ${πcm}^{2}$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + 3 a f (x) - e^{2} - 2 a e$ 恰有3个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{e}{2}, 0)$ B、 $(- \frac{1}{2 e}, 0)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{e})$ D、 $(- \infty, - e)$

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性别	不经常锻炼	经常锻炼	合计
男生	7
女生		16	30
合计	21

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635