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相关试卷

1、在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，若 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{A B}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $\vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$

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2、设 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ α$ B、若 $m ⊥ β$ ， $n ∥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ β$ ， $m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$

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3、从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4、用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（）

A、1400人 B、1600人 C、1800人 D、2000人

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5、已知 $\vec{a} = (5, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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6、已知 $i z = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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7、若对于任意整数 $i$ ， $j$ ，均有 $a_{i + j} < a_{i} + a_{j}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为 $A -$ 数列.

(1)、设各项均为正整数且公差不为0的等差数列 $\{b_{n}\}$ 为 $A -$ 数列， $b_{1} = 2$ ，求 $b_{n}$ ；

(2)、证明：当 $0 < k < 1$ 时，数列 $\{n^{k}\}$ 为 $A -$ 数列；

(3)、证明：若数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，当 $a_{n} > k a_{n - 1}$ 时（其中 $k > 1$ ， $k$ 为常数），数列 $\{a_{n}\}$ 不是 $A -$ 数列.

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程：

(2)、过点 $Q (1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M (2, \sqrt{3})$ ，直线 $B M$ 与直线 $x = 3$ 交于点 $N$ .
（i）证明：直线 $A N$ 的斜率为定值；
（ii）记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ Q B M$ ， $△ A B N$ 的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(1, e)$ 上的最小值是 $\frac{3}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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10、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = a \cos C + 2 c \cos^{2} A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $B C$ 边上的高为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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11、两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球（除颜色外，质地大小均相同），从两个袋子中同时取出1个球（取出的球不放回袋中），若两球颜色相同，则记1分，否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为.

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12、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A$ ， $B$ 在 $C$ 上，若等边三角形 $A B F_{1}$ 的重心为 $F_{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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13、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，函数 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x) + g (x) = x$ ，则 $g (x)$ 可以是.（写出一个满足条件的函数即可）

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14、抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，一束光线从 $A$ 点出发平行于 $x$ 轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出， $A B ⊥ x$ 轴，设反射点分别为 $P$ ， $Q$ ， $O$ 为坐标原点，过 $P$ ， $Q$ 分别作 $∠ A P Q$ ， $∠ B Q P$ 的角平分线交于点 $M$ ，已知 $|P Q|$ 的最小值为2，则下列说法正确的是（）

A、 $p = 1$ B、若 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ ，则直线 $P Q$ 的斜率为 $\pm 1$ C、存在直线 $P Q$ ，使得 $O$ ， $P$ ， $Q$ ， $M$ 四点共圆 D、 $△ M P Q$ 面积的最小值为1

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15、已知随机事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.5$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A B) = 0.2$ B、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (B |A) = 0.4$ C、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A |B) = \frac{4}{5}$ D、若 $P (B |A) = 0.25$ ，则 $P (B |\bar{A}) = \frac{2}{3}$

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16、已知 $z = 2 + i$ 为关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + 5 = 0 (a \in R)$ 在复数范围内的一个根，则（）

A、 $|z^{2}| = 5$ B、 $a = 4$ C、 $\frac{5}{z} + 2$ 为纯虚数 D、 $2 - i$ 为关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + 5 = 0$ 的另一个根

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17、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ， $f (1) = 1$ ，设 $b_{n} = n f (n)$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_{n} > 2024$ 成立的最小整数 $n$ 为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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18、已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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19、若 $\tan (α + \frac{π}{8}) + \frac{1}{\tan (α + \frac{π}{8})} = 3$ ，则 $\sin 4 α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (3, - \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\sqrt{3} \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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