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相关试卷

1、下列结论正确的是（）

A、已知数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，则这组数据的下四分位数为53； B、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 40$ ， $D (X) = 30$ ，则 $p = \frac{3}{4}$ ； C、若3名男同学和2名女同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法； D、一个样本（数据不全为5）的平均数为5，若在样本中添加一个数据：5，则该样本的平均数不变，方差变小.

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2、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 向圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = b^{2}$ 引切线交椭圆于点 $P$ （在 $x$ 轴上方），若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{1}{2} b^{2}$ ，则椭圆的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为 $0.8$ 和 $0.2$ ；发送1时，接收为0和1的概率分别为 $0.1$ 和 $0.9$ .若接收信号为1的概率为 $0.76$ ，则发送信号为1的概率为（）

A、0.2 B、0.5 C、0.8 D、0.9

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4、已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足 $m ⊥ α, n \subset β$ ，则 $m // n$ 是 $α ⊥ β$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ， $A = 60^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $B$ 的内角平分线交边 $A C$ 于点 $D$ ，则 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ C B D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{3}$

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6、设 $a = {log}_{\sqrt{2}} cos \frac{1}{2}$ ， $b = cos \frac{1}{2}$ ， $c = 2 sin \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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7、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ， $\vec{a} = (1, 0)$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，若 $\vec{a} ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、1 C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、若复数 $z$ 满足 $4 z = {(1 + i)}^{4}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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9、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x > 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{- 1, 4, 5\}$ D、 $\{- 1, 0, 4, 5\}$

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10、生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为 $N = N_{0} λ^{t}$ ，其中 $N_{0}$ 为初始个体数， $N$ 为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（）（参考数据： $\lg 2 = 0.3$ ， $\lg 3 = 0.48$ ）

A、14 B、15 C、16 D、17

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 绕着 $y$ 轴旋转一周构成双曲面 $D$ ，其中 $C$ 在旋转过程中的所有实轴落在 $x O z$ 平面内，设 $x O z$ 所在的平面为 $α$ ，平面 $β$ 满足 $α // β$ ，且 $α$ 与 $β$ 之间的距离为 $\sqrt{3} b$ .

(1)、若点 $P (x, z, y)$ 在 $D$ 上，试用含 $x, z, y$ 的方程表示 $D$ （不用说明理由）.

(2)、设 $T_{α}, T_{β}$ 分别是 $α, β$ 截得 $D$ 的截面.
（i）设 $l_{α}, l_{β}$ 分别为 $T_{α}, T_{β}$ 上的弦，求 $l_{α}, l_{β}$ 所在直线间的距离的取值范围；
（ii）已知截面 $T_{β}$ 的圆周上的点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 恰好构成正 $n$ 边形的顶点， $P$ 为 $D$ 上一动点，若对任意 $a > b > 0, λ |\sum_{i = 1}^{n} \vec{P A_{i}}| \geq n \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x} - 2 e^{1 - x} (x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的零点个数；

(3)、证明： $f (x) \geq 3 ln x$ .

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13、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c (2 - \cos A) = a \cos C$ .

(1)、求 $\frac{\sin B}{\sin C}$ 的值；

(2)、若 $A = 60 °$ ， $b = 6$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，求AD的长.

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14、函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 6$ 的极小值是.

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15、设集合 $A = \{\vec{a} ∣ \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), a_{1}, a_{2}, a_{3} \in R\}$ ，且 $\forall x \in R, \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \in A, \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) \in A$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}), x \vec{a} = (x a_{1}, x a_{2}, x a_{3})$ .定义运算：若满足① $\forall \vec{a} \in A, ‖ \vec{a} ‖ \geq 0$ ，且当且仅当 $\vec{a} = (0, 0, 0)$ 时， $‖ \vec{a} ‖ = 0$ ， ② $\forall \vec{a} \in A, x \in R, ‖ x \vec{a} ‖ = |x| \cdot ‖ \vec{a} ‖$ ， ③ $\forall \vec{a}, \vec{b} \in A, ‖ \vec{a} + \vec{b} ‖ \leq ‖ \vec{a} ‖ + ‖ \vec{b} ‖$ 这三个条件，则称为 $A$ 上的范数.下列结论正确的是（）

A、若为 $A$ 上的范数，且 $\exists x, y \in R, \vec{a}, \vec{b} \in A ‖ x \vec{a} +, y \vec{b} ‖ = 0$ ，则 $x = y = 0$ B、若为 $A$ 上的范数，则 $\forall x, y \in R, \vec{a}, \vec{b} \in A, ‖ x \vec{a} + y \vec{b} ‖ \leq |x| \cdot ‖ \vec{a} ‖ + |y| \cdot ‖ \vec{b} ‖$ C、定义运算 $⌈⌉ : \forall \vec{a} = (x, y, z) \in A, ⌈\vec{a}⌉ = {(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z})}^{3}$ ，则为 $A$ 上的范数 D、定义运算 $⌊⌋ : \forall \vec{a} = (x, y, z) \in A, ⌊\vec{a}⌋ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ ，则为 $A$ 上的范数

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - D E F$ 中， $A D = A B = B C = 2, A B ⊥ B C, M$ 为 $A D$ 的中点，则（）

A、 $M E ⊥ E C$ B、三棱锥 $F - M E C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ C、直线 $M E$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、三棱锥 $E - A B C$ 的外接球的表面积为 $4 \sqrt{3} π$

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对于任意的 $y > x > 0$ ，都有 $x f (y) - y f (x) + x^{2} y - x y^{2} > 0$ ．若 $f (4) = 4$ ，且 $f (x + a) < x^{2} + (2 a - 3) x + a^{2} - 3 a$ 在 $x \in [1, 4]$ 时恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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18、由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}, F_{1}, F_{2}$ 分别为 $C$ 的左､右焦点， $C$ 上一点 $P$ 满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{7}{2}$ ，则 $C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{7} π$ B、 $2 \sqrt{7} π$ C、 $\sqrt{14} π$ D、 $2 \sqrt{14} π$

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19、将函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, \frac{1}{2}]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$

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20、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0$ 上恰有两个点到直线 $l : x + y + m = 0 (m > 0)$ 的距离为2，则m的取值范围是（）

A、 $(3 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2})$ B、 $(3 \sqrt{2} + 1, 7 \sqrt{2} + 1)$ C、 $(2 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2})$ D、 $(2 \sqrt{2} + 1, 7 \sqrt{2} + 1)$

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