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相关试卷

1、已知复数 $z = 1 - \sqrt{3} i$ ，则下列说法正确的是（）

A、在复平面内z对应的点位于第四象限 B、 $z + \bar{z} = - 2 \sqrt{3} i$ C、 $| \bar{z} | = 2$ D、 $\frac{1}{z} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$

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2、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为1，E，F，G，H分别为棱 $B B_{1}, C C_{1}, A B, A C$ 的中点，点 $M$ 为线段EF上的动点，直线AM与平面 $A_{1} G H$ 交于点 $N$ ，则点 $N$ 的轨迹长度是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（）

A、事件乙和事件丙互斥 B、事件丙和事件丁互为对立 C、事件甲与事件丙相互独立 D、事件乙与事件丁相互独立

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4、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形， $S D ⊥$ 平面ABCD，点E为SC中点， $S D = A D$ ，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、已知正六边形ABCDEF的边长为1，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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6、下列各组数据中方差最大的一组是（）

A、5，5，5，5，5 B、4，4，5，6，6 C、3，4，5，6，7 D、2，2，5，8，8

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7、已知a，b为空间中不重合的直线， $α, β, γ$ 为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a ⊥ b, b \subset α$ ，则 $a ⊥ α$ B、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a ⊥ γ, b ⊥ γ$ ，则 $a / / b$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (λ, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $λ$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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9、若复数 $z = i (2 - i)$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、2 C、-i D、2i

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10、已知圆 $C_{1}$ 圆心为原点，且与直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 相切，直线l过点 $M (1, 2)$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若直线l被圆 $C_{1}$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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11、已知椭圆 $E : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $E$ 过点 $(1, 0)$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，证明： $| D M |^{2} + | D N |^{2}$ 为定值．

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12、如图所示， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A E F B$ 为矩形， $B C$ $∥$ $A D, B A ⊥ A D, A E = A D = 2 A B = 2 B C = 4$ .

(1)、求证： $C F$ $∥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $C D F$ 与平面 $A E F B$ 所成角的正弦值.

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13、数据 $(x_{i}, y_{i})$ $(i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 组成一个样本，其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{x} - 3$ ，其中 $\bar{x} = 8.2$ ，剔除一个异常点 $(1, 7)$ 后，得到新的回归直线必过点．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} + a_{n} = f (n)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $a_{1} = 2$ ， $f (n) = 4 n + 2$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、若 $a_{1} = 1$ ， $f (n) = 2 n - 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 C、若 $a_{1} = 1$ ， $f (n) = 4$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 D、若 $a_{1} = 2$ ， $f (n) = 3 \cdot 2^{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等比数列

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15、已知随机变量 $X ~ B (n, \frac{2}{3}), Y ~ N (4, σ^{2})$ ，且 $P (- 1 \leq Y \leq 4) + P (Y > n) = 0.5$ ，则 $E (X) =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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16、某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有 $95 %$ 的把握但没有 $99 %$ 的把握认为高血压与高盐饮食有关，则 $χ^{2}$ 的观测值不可能为（）
附： $P (χ^{2} \geq 3.841) = 0.05, P (χ^{2} \geq 6.635) = 0.01, P (χ^{2} \geq 7.879) = 0.005$ .

A、3.622 B、4.502 C、5.921 D、6.634

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} + a_{7} = 12$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、30 B、40 C、60 D、120

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18、抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, - 2)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(2, 0)$

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $A$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）若 $P$ 在 $x$ 轴上方，直线 $P F_{1}$ 与圆 $M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 16$ 交于点 $B$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴上方.是否存在点 $P$ ，使得 $△ P B F_{2}$ 与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积之比为3：5？若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，说明理由.

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20、2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3

(1)、若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 $A$ 为小明取到红色外观的模型，事件 $B$ 为小明取到棕色内饰的模型，求 $P (B)$ 和 $P (B |A)$ ，并判断事件 $A$ 和事件 $B$ 是否独立.

(2)、该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布列并求出 $X$ 的数学期望.

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	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	12	8
米色内饰	2	3