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相关试卷

1、某校航模社团共有 $10$ 名学生，研究“战斗机航模”的有 $6$ 人，其中男生 $4$ 人女生 $2$ 人，另外 $4$ 人研究“无人机航模”．

(1)、从研究“战斗机航模”的 $6$ 人中任意选出 $2$ 人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；

(2)、从航模社团中任意选出 $3$ 人参加航模设计大赛，设 $X$ 表示来自研究“无人机航模”的人数，求 $X$ 的数学期望．

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2、已知函数 $f (x) = \ln x - m x^{2} - x$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，且 $\exists x \in [1, 2]$ ， $a x^{2} > x f^{'} (x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是.

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4、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + k x - 1 > 0$ 在区间[1，2]上有解，则 $k$ 的取值范围是．

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5、若直线 $y = 2 x + 5$ 是曲线 $y = e^{x} + x + a$ 的切线，则 $a =$ .

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6、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (6, σ^{2})$ 且 $P (X > 5) = 0.75$ ，则 $P (X \geq 7) =$ .

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7、函数 $f (x) = 2^{x} + \log_{2} (x - 1) - \frac{a}{2}$ 的零点在区间 $(2, 3)$ 内，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(4, \frac{9}{2})$ B、 $(4, 18)$ C、 $(8, 9)$ D、 $(8, 18)$

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8、若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则在甲、乙不相邻的条件下，丙、丁相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{13}{20}$

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9、 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式的常数项为（）

A、6 B、12 C、15 D、20

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10、三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（）

A、10 B、12 C、16 D、24

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11、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}} ，$ 则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $x - e y = 0$ B、 $2 x - e y + 1 = 0$ C、 $2 e x - y - 1 = 0$ D、 $x - e y - 1 = 0$

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12、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + 3 b = 2$ ，则 $\frac{3}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是（）

A、6 B、12 C、 $\frac{27}{2}$ D、27

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13、复数 $\frac{i^{2025}}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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14、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{8 - x^{2}}\}$ ，则集合 $A \cap Z$ 中的子集个数为（）

A、18 B、16 C、32 D、64

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15、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，向量 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{b} = k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ．若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ，已知向量 $\vec{m} = (sin B, a + c), \vec{n} = (b - c, sin C - sin A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ .

(2)、著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式： ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ .
②已知三维分式型柯西不等式： $y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R^{+}, \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2}}{y_{1} + y_{2} + y_{3}}$ ，当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时，等号成立.若 $a = 4$ ， $M$ 是 $△ A B C$ 内一点，过 $M$ 作 $A B, B C, A C$ 的垂线，垂足分别为 $D, E, F$ ，求 $T = \frac{|A B|}{|M D|} + \frac{16 |B C|}{|M E|} + \frac{|A C|}{|M F|}$ 的最小值.

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17、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = C C_{1}, ∠ A C B = 120^{°}, E$ 为AB的中点.

(1)、证明： $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C E$ .

(2)、证明：平面 $B_{1} C E ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ .

(3)、求直线 $C_{1} E$ 与平面 $C E B_{1}$ 所成角的正弦值.

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18、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $1 + \frac{tan B}{tan A} = \frac{2 c}{a}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $B D$ 为 $∠ A B C$ 的平分线且与 $A C$ 交于点 $D, B D = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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19、2024年底我国一家公司的 $APP$ 发布，引起全球轰动.某单位引入该 $APP$ ，并对员工进行了该 $APP$ 应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该 $APP$ 应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了 $100$ 名员工的成绩（单位：分），根据这 $100$ 名员工的成绩（成绩均在 $[50, 100]$ 之间），将样本数据分为 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）.

(1)、求频率分布直方图中 $m$ 的值；

(2)、估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；

(3)、在样本中，从成绩在 $[50, 60)$ 和 $[60, 70)$ 内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在 $[60, 70)$ 内的概率.

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20、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}, \vec{D F} = 3 \vec{F B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{B D}, \vec{A F}$ ；

(2)、证明： $E, F, C$ 三点共线.

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