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相关试卷

1、已知 $5 - a = ln a, b = {log}_{4} 3 + {log}_{9} 17, 7^{b} + 24^{b} = 25^{c}$ ，则以下关于 $a, b, c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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2、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．若 $a_{1} = - 2, a_{2} + a_{6} = 2$ ，则 $S_{10} =$ ．

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3、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\cos B + \sin \frac{A + C}{2} = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a : c = 3 : 5$ ，且AC边上的高为 $\frac{15 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A B = A D = 2, D C = 4, D C ∥ A B$ ， $A D ⊥ A B, E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求 $A C$ 与平面 $A B E$ 所成的角的正弦值.

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5、（1）已知 $A (0, 3)$ 和 $P (3, \frac{3}{2})$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点．求C的离心率；
（2）已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 经过点 $(2, - 3)$ ，一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，求双曲线C的方程．

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6、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，若不等式 $f (a x + 1) + f (\ln \frac{1}{x}) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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7、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (1 < X \leq 4) = 0.3$ ，则 $P (X > 4) =$ ．

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8、有三个相同的箱子，分别编号 $1, 2, 3$ ，其中 $1$ 号箱内装有 $1$ 个红球、 $4$ 个白球， $2$ 号箱内装有 $2$ 个红球、 $3$ 个白球， $3$ 号箱内装有 $3$ 个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件 $A_{i}$ 表示“取到 $i$ 号箱 $(i = 1, 2, 3)$ ”，事件 $B$ 表示“摸到红球”，事件 $C$ 表示“摸到白球”，则（）

A、 $P (B |A_{1}) = \frac{1}{5}$ B、 $P (B |A_{1}) + P (C |A_{1}) = P (A_{1})$ C、 $P (B) = \frac{7}{15}$ D、 $P (A_{1} |B) = \frac{1}{8}$

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9、下列结论正确的有（）

A、若 $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 1$ ，则 $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 1$ B、若 $y = \cos \frac{π}{3}$ ，则 $y^{'} = - \sin \frac{π}{3}$ C、若 $y = \ln (2 x + 1)$ ，则 $y^{'} = \frac{2}{2 x + 1}$ D、若 $y = \frac{x}{e^{x}}$ ，则 $y^{'} = \frac{1 - x}{e^{x}}$

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10、易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（）

A、 $\frac{23}{28}$ B、 $\frac{25}{28}$ C、 $\frac{13}{14}$ D、 $\frac{27}{28}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 1$ ，若 $a_{8} = - 10, a_{m} = 0$ ，则 $m =$ （）

A、28 B、13 C、18 D、2

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12、已知函数 $f (x) = a x + \frac{a - 1}{x} + 1 - 2 a, a > 0$ ．

(1)、若当 $x \in [1, + \infty)$ 时， $f (x) \geq ln x$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > ln (n + 1) + \frac{n}{2 (n + 1)} (n \in N^{*})$ ．

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13、甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球．

(1)、若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为 $X$ ．求随机变量 $X$ 的分布列；

(2)、现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率．

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14、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上， $B E ⊥ E C_{1}$ ．

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $C D = 2 C B = 2$ ， $A E = A_{1} E$ ，求平面 $B E C$ 与平面 $E C C_{1}$ 夹角的余弦值．

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15、已知 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 3, a_{n} b_{n} - a_{n} = n a_{n + 1}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{2}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 2$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间．

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17、某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为 $\frac{2}{3}$ ，前一局赢后下一局继续赢的概率为 $\frac{1}{2}$ ，前一局输后下一局赢的概率为 $\frac{1}{3}$ ，如此重复进行乙同学第2局赢的概率是；甲同学第 $n$ 局赢的概率 $P_{n} =$ ．

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18、设函数 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x) (x \in R)$ 的导函数，且满足 $f (x) = 2 x^{2} f^{'} (0) + e^{x}$ ，则 $f^{'} (0) =$ ．

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19、已知 $\bar{A}, \bar{B}$ 分别为随机事件 $A, B$ 的对立事件， $P (A) > 0, P (B) > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) + P (\bar{A}) = 1$ B、 $P (A ∣ B) + P (\bar{A} ∣ B) = 1$ C、若 $A, B$ 互斥，则 $P (A B) = P (A) P (B)$ D、若 $A, B$ 独立，则 $P (A ∣ B) = P (A)$

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20、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} > 0, a_{8} + a_{9} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $d < 0$ B、当 $n = 9$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 C、当 $n = 8$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 D、使得 $S_{n} > 0$ 成立的最大自然数 $n$ 是16

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