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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 对应的边分别为 $a, b, c, b sin A + a tan A cos B = 2 a sin C$ .

(1)、求A；

(2)、奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R$ ， ${(x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3})}^{2}$ $\leq (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) (y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2})$ ，当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3.
（ⅰ）求： $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) [\frac{2}{1 - \cos 2 A} + \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{2} - B)} + \frac{1}{\sin^{2} (π + C)}]$ 的最小值；
（ⅱ）若P是 $△ A B C$ 内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设 $△ A B C$ 的面积为S，求 $T = \frac{|A B|}{|P D|} + \frac{9 |B C|}{|P E|} + \frac{|A C|}{|P F|}$ 的最小值.

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2、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} (x + \frac{π}{6}) - 1$ .
（1）求 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若函数 $g (x) = f (x) - k$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{13 π}{12}]$ 上有三个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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3、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 $A$ 、 $B$ 的距离之比为定值 $λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2, 0)$ 、 $B (2, 0)$ ，点 $P$ 满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = 3$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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4、已知 $a, b, c$ 分别是 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边， $b^{2} + c^{2} = a c \cos C + c^{2} \cos A + a^{2}$ ，且 $S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $Δ A B C$ 周长的最小值为．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边长为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ，且 $A D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $c = 2$ ，则 $B D = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ B、若 $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径是 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} b c = b + c$ D、 $b c \geq \frac{16}{3}$

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6、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上一动点，则 $C P + P A_{1}$ 的最小值是

A、 $\sqrt{26}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{37} + 1$ D、 $6 + \sqrt{2}$

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7、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $cos C sin (A - B) = cos B sin (C - A)$ ，则角 $A$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8、复数 $z = \frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数为（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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9、已知函数 $f (x) = x + \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = x^{2} + (2 a + 3) x + a$ 只有一个公共点，求实数 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = 2 x - m$ 有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，
①求实数 $m$ 的范围，试比较 $x_{1} + \frac{1}{x_{1}}$ 与 $x_{2} + \frac{1}{x_{2}}$ 的大小关系，并说明理由；
②证明： $\ln (n + 1) < \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$ .

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10、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的一个极值点是 $- 3$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(- 2, - 1)$ 内不单调，求实数 $a$ 的取值范围：

(3)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2 x + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间：

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(a, a + 4)$ 上存在最大值，求实数 $a$ 的范围；

(3)、过点 $(0, m)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，求实数 $m$ 的范围.

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12、已知 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187.

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值；

(2)、求展开式中按 $x$ 的降幂排列的第3项；

(3)、求展开式中项的系数最大的项.

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13、（1）求值：① $A_{4}^{1} + A_{4}^{2} + A_{4}^{3} + A_{4}^{4}$ ；
② $C_{9}^{1} + C_{9}^{3} + C_{9}^{5} + C_{9}^{7} + C_{9}^{9}$ .
（2）求证： $(n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 1}^{m + 1}$ ；

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14、若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是，其中能被3整除的“凹数”的个数是.

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15、曲线 $y = \sin x$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为.

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16、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）

A、在“杨辉三角”第6行中，从左到右第3个数是20 B、在“杨辉三角”中，第10行的所有的数字之和为1024 C、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} \cdot a_{i} = 3^{n}$ D、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行所有数字的平方和恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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17、若函数 $f (x) = e^{x + m} - \ln x$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m > - 1$ C、 $m \geq 0$ D、 $- 1 \leq m < 0$

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18、 $(1 + x + x^{2}) {(1 - x)}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 $a$ ， ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为 $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 15$ B、75 C、135 D、165

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19、要从5名高二学生中选出3名同学分别到两个社区做志愿者，每个社区至少一人，则不同安排的种数是（）

A、20 B、40 C、60 D、80

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20、某个弹簧振子在振动过程中的位移 $y$ （单位： $mm$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系为 $y = 18 \sin (\frac{2 π}{3} t - \frac{π}{2})$ ，则该弹簧振子在 $t = 3 s$ 时的瞬时速度是（）

A、 $0 mm/s$ B、 $6 π mm/s$ C、 $12 π mm/s$ D、 $18 π mm/s$

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