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相关试卷

1、若不等式 $e^{m x} (m x - \ln 2) - x \ln x^{2} \geq 0$ ，对任意 $x \in [\frac{1}{e}, + \infty)$ 恒成立，则正实数 $m$ 的取值范围是.

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2、函数 $f (x) = \ln \frac{m - x}{2 + x}$ 的图象过原点，且 $g (x) = \frac{e^{λ x} - e^{- λ x}}{2} + f (x) + m$ ，若 $g (a) = 6$ ，则 $g (- a) =$ .

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3、已知 ${(1 - 2 x)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{2024} x^{2024}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{2024} =$ .

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4、设数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2, a_{3} + a_{4} + a_{5} = 4$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ .

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5、六氟化硫，化学式为 ${SF}_{6}$ ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体 $E - A B C D - F$ 的棱长为 $a$ ，下列说法中正确的个数有（）
①异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 $3 \sqrt{3}$ ；
③若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则 $A P + C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} a$ ；
④若点 $O$ 为四边形 $A B C D$ 的中心，点 $Q$ 为此八面体表面上动点，且 $|O Q| = \frac{a}{2}$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} a π$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左焦点为 $F_{1}$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $M$ 为双曲线渐近线上一点且满足 $|M F_{1}| = |O M|$ ，过 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交渐近线于点 $N$ ，已知 $|M F_{1}| = \frac{\sqrt{5}}{4} |N F_{1}|$ ，则其离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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7、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ 满足 $2 \vec{A E} = 3 \vec{E B}$ ，在平面 $A B C D$ 中，动点 $P$ 满足 $\vec{P E} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{D P} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{41} + 4$ B、 $\sqrt{41} - 6$ C、 $2 \sqrt{13} + 4$ D、 $2 \sqrt{13} - 6$

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8、在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（）
①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 成中心对称；
②函数 $f (x)$ 的解析式可以为 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{2 π}{3})$ ；
③函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{13 π}{24}]$ 上的值域为 $[0, 2]$ ；
④若把 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{2}{3}$ 倍，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，则所得函数是 $y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{12})$

A、①③ B、②③ C、③④ D、①④

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9、成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（）

A、 $\frac{24}{55}$ B、 $\frac{28}{55}$ C、 $\frac{8}{11}$ D、 $\frac{27}{55}$

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10、已知直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 与平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $l / / m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $m / / α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$

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11、在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (3, 4)$ ，则 $\frac{sin α + 2 cos α}{cos α - sin α} =$ （）

A、11 B、 $- 10$ C、10 D、 $- 11$

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12、已知 $a = {log}_{3} 0.2, b = 3^{0.2}, c = {0.3}^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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13、若复数 $z = \frac{i}{2 - i}$ ，其中i为虚数单位，则共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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14、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 4 x > 0\}, N = {x ∣ 2 < x < 8}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(4, 8)$ D、 $(2, 4)$

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 3)$ ，若实数λ满足 $(λ \vec{b} - \vec{a}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $- 1$ D、1

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16、（1）已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；
（2）已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π, \tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}, \cos (β - α) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $β$ 的值.

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17、某中学 $400$ 名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了 $100$ 名学生，记录他们的分数，将数据分成 $7$ 组： $[20,30),[30,40), \dots,[80 .90]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图求出分数大于 $70$ 的频率与频数；

(2)、根据频率分布直方图求样本中 $75 %$ 分位数；

(3)、已知样本中男生与女生的比例是 $3 ： 1$ ，男生样本的均值为 $70$ ，方差为 $10$ ，女生样本的均值为 $80$ ，方差为 $14$ ，请计算样本的均值与方差.

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18、在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos^{2} C - \cos^{2} A = \sqrt{2} \sin A \sin B - \sin^{2} B$ .

(1)、求 $∠ C$ 的大小；

(2)、已知 $a + b = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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19、如图所示，在 $△ O B C$ 中，点 $A$ 是 $B C$ 的中点，点 $D$ 是靠近点 $B$ 将 $O B$ 分成 $2 : 1$ 的一个三等分点， $D C$ 和 $O A$ 交于点 $E$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ 、 $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C}$ 、 $\vec{D C}$ ；

(2)、若 $\vec{O E} = λ \vec{O A}$ ，求 $λ$ 的值.

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20、从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
$[75, 85)$
$[85, 95)$
$[95, 105)$
$[105, 115)$
$[115, 125)$
频数
6
26
38
22
8

(1)、根据上表补全所示的频率分布直方图；

(2)、估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；

(3)、根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

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质量指标值分组	$[75, 85)$	$[85, 95)$	$[95, 105)$	$[105, 115)$	$[115, 125)$
频数	6	26	38	22	8